解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{cc}-1, & -\frac{T}{2} < t < 0, \\ 1, & 0 \leqslant t < \frac{T}{2},\end{array}\right.$ 且 $f(t+T)=f(t)$ ．试将 $f(t)$展成复数形式的傅氏级数．
求函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\cos t, & |t| < \frac{\pi}{2} \\ 0, & |t|>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ 的傅氏变换．并证明广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\cos \frac{\omega \pi}{2} \cos \omega t}{1-\omega^2} \mathrm{~d} \omega=\frac{\pi}{2} \cos t, \quad|t| < \frac{\pi}{2}
$$
求函数 $f(t)=\sin ^3 t$ 的傅氏变换．
求函数 $f(t)=\frac{\cos ^2 t-\sin ^2 t}{1+t^2}$ 的傅氏变换．
求积分 $\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(1+t) \delta(\cos t) \mathrm{d} t$
求单位斜坡函数 $r(t)=\left\{\begin{array}{cc}t, & t>0 \\ 0, & t < 0\end{array}\right.$ 的傅氏变换．