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2026年《复变函数与积分变换B》期末考试模拟试卷

发布日期 2026/3/20 16:02:06      查看 4      加入组卷      查看作者     
填空题
$\frac{1-i}{2}$ 的幅角是
$\operatorname{Ln}(-1-i)$ 的主值是
$f(z)=\frac{1}{1+z^2}, f^{(7)}(0)=$
$f(z)=\frac{z-\sin z}{z^3}, \operatorname{Res}[f(z), 0]=$
$f(z)=\frac{1}{z^2}, \operatorname{Res}[f(z), \infty]=$
单选题
$x^2-y^2$ 是解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的实部，那么
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=2(x+i y)$ $\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=2(x-i y)$ $\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=2(y+i x)$ $\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=2(y-i x)$
C 是正向圆周 $|z|=2$ ，如果函数 $f(z)=()$ ，那么 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z \neq 0$
$\text{A.}$ $\frac{1}{z-1}$ $\text{B.}$ $\frac{\sin z}{z}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{(z-3)^2}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{(z-1)^2}$
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2 i$ 点收敛，那么级数在
$\text{A.}$ $z=-2$ 点条件收敛 $\text{B.}$ $z=-2 i$ 点绝对收敛 $\text{C.}$ $z=1+i$ 点绝对收敛 $\text{D.}$ $z=1+2 i$ 点一定发散
以下结论正确的选项是
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析； $\text{B.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，其中 C 复平面正向封闭曲线，那么 $f(z)$ 在 C 所围成的区域一定解析； $\text{C.}$ 函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域一定可以展开成为 $z-z_0$ 的幂级数，而且展开式是唯一的； $\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域解析的充分必要条件是 $u(x, y)$ 、 $v(x, y)$ 在该区域均为调和函数．
以下结论不正确的选项是
$\text{A.}$ $\ln \mathrm{z}$ 是复平面上的多值函数； $\text{B.}$ cosz 是无界函数； $\text{C.}$ $\sin z$ 是复平面上的有界函数； $\text{D.}$ $e^z$ 是周期函数．
解答题
求 $a, b, c, d$ 使 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数
$\oint_C \frac{1}{z(z-1)^2} \mathrm{~d} z$ 。其中 $C$ 是正向圆周 $|z|=2$
计算 $\oint_C \frac{z^3 e^{\frac{1}{z}}}{(1-z)} \mathrm{d} z$ ，其中 C 是正向圆周 $|z|=2$
函数 $f(z)=\frac{\left(z^2-1\right)(z+2)^3}{(\sin \pi z)^3}$ 在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}$ 在以下区域展开成罗朗级数；
［1］ $0 < |z+1| < 1$ ，
［2］ $0 < |z| < 1$,
［3］ $1 < |z| < \infty$
用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)-3 y(x)=e^{-x} \\
y(0)=0, y^{\prime}(0)=1
\end{array}\right.
$$
求
$$
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & |t| \leq 1 \\
0 & |t|>1
\end{array}\right.
$$
的傅立叶变换，并由此证明：
$$
\begin{aligned}
&\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega \cos \omega t}{\omega} d \omega=\left\{\begin{array}{cc}
\pi / 2 & |t| < 1 \\
\pi / 4 & |t|=1 \\
0 & |t|>1
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

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