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李良高等数学辅导讲义-强化篇(函数、连续与极限)

发布日期 2026/3/6 15:28:03      查看 60      加入组卷      查看作者     
单选题
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散，则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散。 $\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 无界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必有界． $\text{C.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 有界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小。 $\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则

$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ． $\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ． $\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ． $\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$ ． $\text{B.}$ $k=1, c=-4$ ． $\text{C.}$ $k=3, c=4$ $\text{D.}$ $k=3, c=-4$ ．
解答题
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2} $
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x-1\right]$ ．
试确定常数 $A, B, C$ 的值，使得 $\mathrm{e}^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 高阶的无穷小。
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小值；
（II）设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在并求此极限。