单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid x(x-1)=0\}$ ，集合 $B=\mathbf{N}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $\{1\}$
$\text{C.}$ $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $[0,1]$
下列函数在定义域内是减函数的是
$\text{A.}$ $y=x$
$\text{B.}$ $y=x^2$
$\text{C.}$ $y=x^{-1}$
$\text{D.}$ $y=-\sqrt{x}$
函数 $f(x)=\frac{x}{|x| \cdot 3^x}$ 的图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
用二分法求方程的近似解，求得 $f(x)=x^3+2 x-9$ 的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为 0.1 时，方程 $x^3+2 x-9=0$ 的近似解可取为
$\text{A.}$ 1.6
$\text{B.}$ 1.7
$\text{C.}$ 1.8
$\text{D.}$ 1.85
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=-x^2+2 x$ ，则当 $x < 0$ 时， $f(x)=$
$\text{A.}$ $-x^2-2 x$
$\text{B.}$ $x^2+2 x$
$\text{C.}$ $-x^2+2 x$
$\text{D.}$ $x^2-2 x$
已知 $a, b, c \in \mathbf{R}$ ，则下列命题为假命题的是
$\text{A.}$ 若 $a>b>c$ ，则 $a+b>c$
$\text{B.}$ 若 $a>b>0$ ，则 $a^2>b^2$
$\text{C.}$ 若 $a>b$ ，则 $\left(\frac{1}{2}\right)^{a+c} < \left(\frac{1}{2}\right)^{b+c}$
$\text{D.}$ 若 $a>b>0, c>0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b+c}{a+c}$
＂$m>n>1$＂是＂ $\log _m n < 1$＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知函数 $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$ ，其图象的对称中心在直线 $y=a x+b$ 上，则 $a^2+b^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{9}$
$\text{D.}$ 1
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(2 x)=8 x^3$ ，其定义域为 $[-1,1]$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(1)=8$
$\text{B.}$ $f(x)=x^3$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的定义域为 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ $f(x-1)$ 的图象关于 $(1,0)$ 对称
设 $m=\log _{0.3} 0.4, n=\log _2 0.4$ ，则
$\text{A.}$ $m>0, n < 0$
$\text{B.}$ $m+n < 0$
$\text{C.}$ $m+n>0$
$\text{D.}$ $m+n>m n$
对 $\forall x \in \mathbf{R}$ ，用 $M(x)$ 表示 $f(x), g(x)$ 中最大者，记为 $M(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ ，设函数 $M(x)=\max \left\{\left|-x^2+4 x-3\right|, x-2\right\}$ ，下列选项中正确的有
$\text{A.}$ 函数 $M(x)$ 的单调递增区间为 $(1,2),\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ 若方程 $M(x)=m$ 有3个不相等的实数根，则 $m=1$
$\text{C.}$ 若 $M(x)$ 在区间 $[a, b]$ 内的最大值为 1 ，则 $b-a$ 的最大值为 $\sqrt{2}+1$
$\text{D.}$ 存在不唯一的非负实数对 $(p, q)$ ，使得 $M(x)$ 在 $[p, q]$ 上的值域也为 $[p, q]$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{e}^x+2, x \leq 1 \\ \ln x, x>1\end{array}\right.$ ，则方程 $f(x)=1$ 的解集是
已知实数 $m, n$ 满足 $2 m+\ln m=1, \ln (3-n)-2 n=-5$ ，则 $m+n=$
已知一次函数 $y=k x+b(k \neq 3)$ 的图象恒过定点 $(1,3)$ ，且与坐标轴围成的三角形面积不超过 2 ，记满足条件的 $k$ 的取值集合为 $P$ ，若 $\exists x \in P$ ，使不等式 $x^2+9>m x$ 成立，则实数 $m$的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）化简并求值： $5^{1-\log _5 2}-2 \lg 2-\lg 25$ ；
（2）已知 $a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ ，求 $\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+2}{a+a^{-1}-1}$ 的值．
已知 $a>0, b>0, c>0$
（1）比较 $a^3+b^3$ 与 $a^2 b+a b^2$ 大小；
（2）证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$
北京时间 2025 年 11 月 14 日 16：40 神舟二十号航天员乘组成功着陆东风着陆场，现场医监医保人员确认航天员陈冬、陈中瑞、王杰 3 名航天员安全出舱，健康状况良好，其中陈冬刷新中国航天员在轨驻留超 400 天纪录，神舟二十号载人飞行任务取得圆满成功、近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 $v=v_0 \cdot \ln \frac{M}{m}$ 计算火箭的最大速度 $v \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，其中 $v_0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 是喷 流相对速度，$m \mathrm{~kg}$ 是火箭（除推进剂外）的质量，$M \mathrm{~kg}$ 是推进剂与火箭质是的总和，$\frac{M}{m}$ 称为＂总质比＂，已知某型火箭的喷流相对速度为 $2000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．
（1）若火箭的总质比为 50 ，利用给出的参考数据判断该型火箭的最大速度能否达到第一宇宙速度（ $7900 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ）；
（2）为了火箭获取更大速度，需要对材料进行更新和技术改进，材料更新后总质比变为原来的 $\frac{1}{3}$ ，技术改进后火箭喷流相对速度变为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，若使火箭最大速度至少增加 $1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，求材料更新前总质比的最小整数值．（参考数据： $\ln 50 \approx 3.9,2.718 < \mathrm{e} < 2.719$ ）
已知二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的图象过 $(1,0)$ 点，且对任意的实数 $x, y$ ，均有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y+2$ 成立．
（1）求 $f(x)$ 的解析式；
（2）若对 $\forall k \in[0,2]$ ，不等式 $k f(x) < \left(k^2+1\right) x$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\log _3\left(9^x+1\right)-k x$ 是偶函数．
（1）求实数 $k$ 的值；
（2）当 $x \geq 0$ 时，函数 $g(x)=f(x)-x-a$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）设函数 $h(x)=\log _3\left(m \cdot 3^x-2 m\right)$ ，若函数 $f(x)$ 与 $h(x)$ 的图象只有一个公共点，求实数 $m$ 的取值范围．