单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z=i^2+i^3$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知集合 $A=\{1,3,4\}, B=\{1, a+2\}$ ，则＂$a=2$＂是 ＂$A \cup B=A$＂的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
假设某次考试的成绩服从正态分布 $N\left(\mathbf{8 5}, \mathbf{9}^{\mathbf{2}}\right)$ ．如果按照 $16 \%, 34 \%, 34 \%, 16 \%$ 的比例将考试成绩从高到低分为 A，B，C，D 四个等级，则 $A$ 等级的分数线约为（ ）（若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma < X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.68, P(\mu-2 \sigma < X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.95$ ）
$\text{A.}$ 76
$\text{B.}$ 88
$\text{C.}$ 94
$\text{D.}$ 103
由曲线 $\boldsymbol{x}^2+\boldsymbol{y}^2=|\boldsymbol{x}|$ 围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
已知 $\alpha, \beta$ 都是第二象限角，且 $\tan \alpha=m, \tan \beta= \frac{1}{m}$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\boldsymbol{m}^2$
$\text{D.}$ $-m^2$
已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $\boldsymbol{O}$ ，且 $\overrightarrow{\boldsymbol{O A}}+\overrightarrow{\boldsymbol{O B}}= \overrightarrow{\boldsymbol{O C}}$ ，则 $\overrightarrow{\boldsymbol{C B}}$ 在 $\overrightarrow{\boldsymbol{C A}}$ 上的投影向量为
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} \overrightarrow{C A}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{2} \overrightarrow{C A}$
$\text{C.}$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \overline{\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}}$
$\text{D.}$ $-\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \overrightarrow{C A}$
有编号为 $\mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}$ 的三个盒子，将 $\mathbf{4}$ 个不同的小球全部放入盒子．若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有
$\text{A.}$ 26 种
$\text{B.}$ 32 种
$\text{C.}$ 38 种
$\text{D.}$ 44 种
记 $[\boldsymbol{x}]$ 表示不小于 $\boldsymbol{x}$ 的最小整数，例如 $\mid[\mathbf{- 1 . 5}]=-\mathbf{1}$ ， $[1.5]=2$ ．奇函数 $f(x)$ 满足当 $x < 0$ 时，$f(x)=x^2+ a x(a>0)$ ．若关于 $x$ 的方程 $f(x)=x-[x]$ 在 $(0,3]$ 上恰有两个不同实数根，则 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(0,2]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{8}{3}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\mathbf{1}, \frac{3}{2}\right] \cup\left(\mathbf{2}, \frac{8}{3}\right]$
$\text{D.}$ $(0,1] U\left(\frac{3}{2}, 2\right]$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$的部分图象如图所示，则
$\text{A.}$ $\varphi=-\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{2 \pi}{9}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递減
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{8 \pi}{9}$ 对称
$\text{D.}$ 将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{9}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象，则 $g(x)$ 为奇函数
已知 $O$ 为坐标原点，拋物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$的焦点为 $F$ ，点 $B(-2,0)$ 在 $C$ 的准线上，过 $B$ 的直线与 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，则
$\text{A.}$ $p=4$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=20$
$\text{C.}$ $\frac{|M B|}{|M F|} \geqslant \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{|M F|}+\frac{1}{|N F|}=\frac{1}{2}$
已知函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{m} \boldsymbol{a}^{\boldsymbol{x}}(\mathbf{m}>\mathbf{0}, \boldsymbol{a}>\mathbf{1})$ ，过点 $A_1\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $x$ 轴于点 $B_1\left(x_2, 0\right)$ ，过点 $A_2\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $x$ 轴于点 $B_2\left(x_3, 0\right)$ ，依此类推，得到 $A_n\left(x_n, f\left(x_n\right)\right), B_n\left(x_{n+1}, 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 是等差数列
$\text{B.}$ 当 $a>\sqrt[3]{e}$ 且 $x_n>0$ 时，$x_{n+1}>\ln x_n-2$
$\text{C.}$ $\left|A_n B_n\right| \cdot\left|A_{n+2} B_{n+2}\right| < \left|A_{n+1} B_{n+1}\right|^2$
$\text{D.}$ 记 $\triangle A_n B_n A_{n+1}$ 面积为 $S_n$ ，则 $S_n \cdot S_{n+2}=S_{n+1}^2$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\lg \left(10^x+1\right)-a x$ 是偶函数，则实数 $a=$
某校高三年级举行 $4 \times 100$ 米接力赛，共有 8 条赛道，第（3）道和第（4）道是＂黄金赛道＂．赛制规定：由 1到 8 班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回．在 1 班未抽到＂黄金赛道＂的条件下， 3 班抽到＂黄金赛道＂的概率是
已知同底的两个正六棱锥 $P-A B C D E F$ 和 $Q- A B C D E F$ 的顶点都在同一个球面上．若正六棱锥 $P- A B C D E F$ 的侧面与底面所成角为 $60^{\circ}$ ，则正六棱锥 $Q^{-} A B C D E F$ 的侧棱与底面所成角的正切值是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ ，已知 $\boldsymbol{c}^{\mathbf{2}}-\overrightarrow{\boldsymbol{B A}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{B C}}=-\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}} \boldsymbol{b} \boldsymbol{c}$ ．
（1）求角 $\boldsymbol{A}$ 的大小；
（2）若 $B=\frac{\pi}{12}, \triangle A B C$ 的面积 $S=\sqrt{3}+1$ ，求 $b$ 的值．
如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中， $A B \perp B C, A B=A A_1=2, B C=1, \overrightarrow{A E}=\lambda \overrightarrow{A C}$ ， $\overrightarrow{A_1 F}=\lambda \overrightarrow{A_1 B}$ ，其中 $0 < \lambda < 1$ ．
（1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，求证：$E F / /$ 平面 $B C C_1 B_1$ ：
（2）当 $\lambda$ 为何值时， $\boldsymbol{E F}$ 的长最小，并求其最小值：
（3）当 $\boldsymbol{E F}$ 的长最小时，求平面 $\boldsymbol{A E F}$ 与平面
$B C C_1 B_1$ 夹角的余弦值．
已知函数 $f(x)=(a x-1) \mathrm{e}^x$ ．
（1）当 $a \geq 0$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $a=1$ 时，不等式 $f(x) < k x-2$ 没有正整数解，求实数 $\boldsymbol{k}$ 的取值范围．
已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，长轴长为 4 ，且过点 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
（1）求 $\Gamma$ 的方程；
（2）点 $\boldsymbol{P}$ 为椭圆 $\Gamma$ 在第一象限上任一点，直线 $\boldsymbol{A P}$ 交 $\boldsymbol{y}$轴于点 $\boldsymbol{C}$ ，直线 $\boldsymbol{B P}$ 交 $\boldsymbol{x}$ 轴于点 $\mathbf{D}$ ．
（i）若四条直线 $A P, B P, A B, C D$ 的斜率分别记为 $k_1, k_2, k_3, k_4$ ，证明：$\quad k_1 k_2=k_3 k_4$ ；
（ii）记 $\triangle P C D$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $A B D C$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为无穷数列，前 $n$ 项和为 $S_n$ ．
（1）若 $a_1=1, S_n=a_{n+1}$ ，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）是否存在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ ，使 $S_n < a_{n+1}$ ？若存在，请写出一个满足条件的通项公式。若不存在，请说明理由：
（3）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，公比为 $q$ ，且满足 $S_n < a_{n+1}$ ，求 $q$ 的取值范围．