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山西财经大学华商学院高等数学期末考试试卷

发布日期 2025/12/15 14:19:37      查看 113      加入组卷      查看作者     
单选题
函数 $y=\frac{1}{x-1}$ 的水平渐近线方程是
$\text{A.}$ $x=1$ $\text{B.}$ $y=0$ $\text{C.}$ $y=1$ $\text{D.}$ $x=0$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{x}$ 的值为
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
若函数 $y=x^3+2 x$ ，则 $y^{\prime}$ 为

$\text{A.}$ $3 x^2+2$ $\text{B.}$ $3 x^2+2 x$ $\text{C.}$ $x^2+2$ $\text{D.}$ $x^2+2 x$
曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4
函数 $y=\cos (2 x)$ 的导数是
$\text{A.}$ $-\sin (2 x)$ $\text{B.}$ $-2 \sin (2 x)$ $\text{C.}$ $\sin (2 x)$ $\text{D.}$ $2 \sin (2 x)$
已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $2 x$ $\text{B.}$ $x^3 / 3$ $\text{C.}$ $x^2$ $\text{D.}$ $2 x+C$ （ $C$ 为常数）
$\int x^2 d x$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} x^3+C$（ $C$ 为常数） $\text{B.}$ $3 x^3+C$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2} x^2+C$ $\text{D.}$ $2 x^2+C$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 5
函数 $y=e^{-x}$ 的单调递增区间是
$\text{A.}$ $(-\infty,+\infty)$ $\text{B.}$ $(-\infty, 0)$ $\text{C.}$ $(0,+\infty)$ $\text{D.}$ 不存在
若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x) d x-\int_a^b f(t) d t$ 的值为
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $f(b)-f(a)$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 无法确定
设 $z=x^2 y$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 等于
$\text{A.}$ $2 x$ $\text{B.}$ $x^2$ $\text{C.}$ $x^2 y$ $\text{D.}$ $2 x y$
二元函数 $z=x^2+y^2$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 取得极大值 $\text{B.}$ 取得极小值 $\text{C.}$ 无极值 $\text{D.}$ 无法确定是否有极值
已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(3,-1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于
$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 5
直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}$ 的方向向量为
$\text{A.}$ $(2,-1,3)$ $\text{B.}$ $(1,-1,2)$ $\text{C.}$ （2，1，3） $\text{D.}$ $(-2,1,-3)$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 的和为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 发散
填空题
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=$
函数 $y=\ln (x+1)$ 的定义域是
已知 $y=x^n,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=3$ ，则 $n=$
曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程为
$\int \frac{1}{x} d x=$
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $\int_a^b f(x) d x=5, \int_a^c f(x) d x=3(a < c < b)$ ，则 $\int_c^b f(x) d x=$
设 $z=e^{x y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial y}=$
已知 $\vec{a}=(2,-3),|\vec{b}|=2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{b}=$
过点 $(1,2,3)$ 且与平面 $2 x-y+z=0$ 平行的平面方程为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛区间为
解答题
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$
求函数 $y=x^3-3 x^2+1$ 的极值。
计算 $\int x \sin x d x$
求由曲线 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 所围成的平面图形的面积。
四、证明题（本大题共 1 个小题，共 10 分）
证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) f(b) < 0$ ，则在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。