单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
复数 $\frac{2+i}{1-2 i}$ 的共轭复数是 ( )
$\text{A.}$ $-\frac{3}{5} i$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5} i$
$\text{C.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\mathrm{i}$
下列函数中, 既是偶函数又在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的函数是（ )
$\text{A.}$ $y=2 x^{3}$
$\text{B.}$ $y=|x|+1$
$\text{C.}$ $y=-x^{2}+4$
$\text{D.}$ $y=2^{-|x|}$
执行如图的程序框图，如果输入的 $N$ 是 $6$，那么输出的 $p$ 是（ ）
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 720
$\text{C.}$ 1440
$\text{D.}$ 5040
有 3 个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同 学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合, 始边与 $x$ 轴的正半轴重合, 终边在直 线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 上, 则 $\cos 2 \theta=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
设直线 $I$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点, 且与 $C$ 的一条对称轴垂直, $I$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的 2 倍, 则 $C$ 的离心率为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\left(x+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\right)\left(2 \mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{5}$ 的展开式中各项系数的和为 2 , 则该展开式中常数项 为 ( )
$\text{A.}$ $-40$
$\text{B.}$ $-20$
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 40
由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=x-2$ 及 $y$ 轴所围成的图形的面积为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{10}{3}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $\frac{16}{3}$
$\text{D.}$ 6
已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量, 其夹角为 $\theta$, 有下列四个命题 $P_{1}:|\vec{a}+\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) ; P_{2}:|\vec{a}+\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right] ; P_{3}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in[0$ , $\left.\frac{\pi}{3}\right) ; \mathrm{P}_{4}:|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right]$; 其中的真命题是 （ ）
$\text{A.}$ $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{4}$
$\text{B.}$ $P_{1}, P_{3}$
$\text{C.}$ $P_{2}, P_{3}$
$\text{D.}$ $P_{2}, P_{4}$
设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)+\cos (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的最 小正周期为 $\pi$, 且 $f(-x)=f(x)$, 则 （ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递减
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递减
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ 单调递增
函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{1-\mathrm{x}}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=2 \sin \pi \mathrm{x}, \quad(-2 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 4)$ 的图象所有交点 的横坐标之和等于（）
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}3 \leqslant 2 x+y \leqslant 9 \\ 6 \leqslant x-y \leqslant 9\end{array}\right.$, 则 $z=x+2 y$ 的最小值为 （ ）
在平面直角坐标系 $x O y$, 椭圆 $C$ 的中心为原点, 焦点 $F_{1} F_{2}$ 在 $x$ 轴上, 离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$. 过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点, 且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 , 那么 $C$ 的方程为 （ ）
已知矩形 $A B C D$ 的顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上, 且 $A B=6, B C=2$ $\sqrt{3}$, 则棱雉 $O-A B C D$ 的体积为 （ ）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{B}=60^{\circ}, \mathrm{AC}=\sqrt{3}$, 则 $\mathrm{AB}+2 \mathrm{BC}$ 的最大值为 （ ）
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$,
(I) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(II ) 设 $b_{n}=\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\ldots+\log _{3} a_{n}$, 求数列 $\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, $\angle D A B=60^{\circ}$
, $A B=2 A D, P D \perp$ 底面 $A B C D$.
( I ) 证明: $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$;
(II) 若 $P D=A D$, 求二面角 $A^{-} P B-C$ 的余弦值.
种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量 越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品, 现用两种新配方（分 别称为 $\mathrm{A}$ 配方和 $\mathrm{B}$ 配方) 做试验, 各生产了 100 件这种产品, 并测量了每件 产品的质量指标值, 得到下面试验结果:
$\mathrm{A}$ 配方的频数分布表
$\mathrm{B}$ 配方的频数分布表
(I) 分别估计用 A 配方, B 配方生产的产品的优质品率;
(II) 已知用 $\mathrm{B}$ 配方生成的一件产品的利润 $\mathrm{y}$ (单位: 元) 与其质量指标值 $\mathrm{t}$ 的
关系式为 $y= \begin{cases}-2, \quad t < 94 \\ 2, & 94 \leqslant t < 102 \\ 4, & t \geqslant 102\end{cases}$
从用 $\mathrm{B}$ 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 $\mathrm{X}$ (单位: 元）, 求 $\mathrm{X}$ 的分布列 及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率)
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $A(0,-1)$, B 点在直线 $y=-3$
上, $M$ 点满足 $\overrightarrow{M B} / / \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M B} \cdot \overrightarrow{B A}, M$ 点的轨迹为曲线 $C$.
(I) 求 C 的方程;
(II ) $P$ 为 $C$ 上的动点, $I$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线, 求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{aln} \mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}$, 曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（1, $f(1 ）$ ）处的 切线方程为 $x+2 y-3=0$.
（I）求 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的值;
（II ）如果当 $x>0$, 且 $x \neq 1$ 时, $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$, 求 $k$ 的取值范围.
如图, $D, E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点, 且不与 $\triangle A B C$ 的 顶点重合. 已知 $A E$ 的长为 $m, A C$ 的长为 $n, A D, A B$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-14 x+m n=0$ 的两个根.
(I) 证明：C, B, D, E四点共圆;
(II) 若 $\angle A=90^{\circ}$, 且 $m=4, n=6$, 求 $C, B, D, E$ 所在圆的半径.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2+2 \sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数）M 是 $C_{1}$ 上的动点, $P$ 点满足 $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O M}, P$ 点的轨迹为曲线 $C_{2}$
(I) 求 $C_{2}$ 的方程;
(II) 在以 0 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 与 $C_{1}$ 的异 于极点的交点为 $A$, 与 $C_{2}$ 的异于极点的交点为 $B$, 求 $|A B|$.
设函数 $f(x)=|x-a|+3 x$, 其中 $a>0$.
(I) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant 3 x+2$ 的解集
(II ) 若不等式 $f(x) \leqslant 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leqslant-1\}$, 求 $a$ 的值.