解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)^{\mathrm{n}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) d t}{x^2}$ ，其中 $f(x)$ 是一个连续函数．
求二元函数 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}(x+2 y) \ln \left(x^4+y^4\right)$ 的极限．
过原点作抛物线 $y=f(x)=\sqrt{x-1}$ 的切线，设 $D$ 是该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成的平面区域。求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
$\int \frac{x^2-7}{x^2+x-2} d x$ ．
$\int \arctan \sqrt{x} d x$ ．
求原点到直线
$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x-z+2=0 \\
-y+2 z-1=0
\end{array}\right.
$$
的垂线方程．
求 $f(x)=\sqrt{1+x} \sin x$ 在 $x=0$ 点的带皮亚诺余项的 3 阶泰勒展式，并求 $f^{(3)}(0)$ 的值．
设 $2 n$ 次多项式 $P_{2 n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2 n}(-1)^k \frac{x^k}{k}$ ，分析多项式的单调性，由此证明该多项式没有零点．
求由方程 $e^{x y}-\ln \left(x^2+y\right)=1$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的微分．
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x-\tan x$ 是 $x$ 的多少阶无穷小量？
讨论函数 $f(x, y)=|x \sin y|$ 在 $(0,0)$ 处的可微性
设 $u=e^{x y} \sin \left(x^2+y^2\right)$ ，求该函数的一阶偏导数与全微分．
设函数 $f(x, y)$ 有连续的二阶偏导数，
$$
z=f\left(x_0+t\left(x_1-x_0\right), y_0+t\left(y_1-y_0\right)\right),
$$
求 $\frac{d^2 y}{d t^2}$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x+\cos x} d x$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续可微，$f(0)=0$ ，证明在 $(0,1)$ 中存在一点 $\xi$ ，满足
$$
(1-\xi) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)
$$