单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 $\_\_\_\_$间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_{\arccos x}^{\ln x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-3 x \sin \frac{1}{x}\right)=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 上对应 $t=1$ 的点处的法线斜率为
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{\arcsin x^2}$
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$
求函数 $f(x)=x \sin x+\cos x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 内的极值
求曲线 $y=(x-5) \sqrt[3]{x^2}$ 的凹凸区间及拐点
求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{2}, \quad 0 \leq x \leq \pi \\ 0, \quad x < 0 \text { 或 } x>\pi\end{array}\right.$ ，求 $\phi(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：当 $e < a < b < e^2$ 时， $\ln ^2 b-\ln ^2 a>\frac{4}{e^2}(b-a)$