设向量 $\vec{a}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}, \vec{b}=-\vec{i}+\vec{j}$ ．
（1）计算 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $\vec{a} \times \vec{b}$ ；
（2）求它们夹角 $\theta$ 的正弦与余弦；
（3）求垂直两向量所在平面的单位向量．
已知一四面体的顶点为 $A_k\left(x_k, y_k, z_k\right)(k=1,2,3,4)$ ，求该四面体的体积．
判定四点 $A(1,1,1), B(4,5,6), C(2,3,3), D(10,15,17)$ 是否共面？
设向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 不共面，且 $\mathbf{d}=\boldsymbol{\alpha} \mathbf{a}+\boldsymbol{\beta} \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c}$ ，如果 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$
有公共起点．
（1）问系数 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 应满足什么条件，才能使向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ 的终点在同一平面上？
（2）如果 $\mathbf{a}=(1,2,1), \mathbf{b}=(0,3,1), \mathbf{c}=(2,0,3)$ ，判定向量 $\mathbf{a , b , c}$ 是否共面？
（3）设 $\mathbf{d}=(-\mathbf{1},-\mathbf{3}, \mathbf{1})$ ，由（2）求 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma$ ，使得
$$
\mathbf{d}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c}
$$
如果 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ 有公共起点，它们是否共面？
问当 $t$ 为何值时，空间四点 $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ ， $D(-1,2, t)$ 共面？并求平面四边形 $A B C D$ 的面积．
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，$|\vec{b}|=1,(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x} .
$$
已知向量 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}, \angle A D B=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）证明 $\triangle B A D$ 的面积 $S_{\triangle B A D}=\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}||\vec{a} \times \vec{b}|}{2|\vec{b}|^2}$ ．
（2）当 $\vec{a}, \vec{b}$ 间的夹角为何值时，$\triangle B A D$ 的面积最大，并求最大面积值．
证明： $\mathbf{a , b , c}$ 不共面当且仅当 $\mathbf{a} \times \mathbf{b , b} \times \mathbf{c , c} \times \mathbf{a}$ 不共面．
设 $\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2, \mathrm{e}_3$ 不共面，证明：任一向量 $\mathbf{a}$ 可以表示成
$$
\mathbf{a}=\frac{1}{\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right)}\left[\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1+\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2+\left(\mathbf{a}, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3\right] .
$$
设 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 不共面，且向量 $\mathbf{r}$ 满足
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}=\alpha, \mathbf{b} \cdot \mathbf{r}=\beta, \mathbf{c} \cdot \mathbf{r}=\gamma
$$
那么有 $\mathbf{r}=\frac{1}{(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})}[\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b} \times \mathbf{c})+\boldsymbol{\beta}(\mathbf{c} \times \mathbf{a})+\gamma(\mathbf{a} \times \mathbf{b})]$ ．
证明：$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2+(\mathbf{a} \times \mathbf{b})^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$ 。由此推导用三角形三边长 $a, b, c$ 计算三角形的面积公式，其中向量 $(\mathbf{a})^2=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$