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同济大学2019-2020高等数学AB(上)期中考卷及解答

发布日期 2025/11/14 20:29:53      查看 51      加入组卷      查看作者     
单选题
数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $X_n$ 收敛，则 $y_n$ 必为无穷小。 $\text{B.}$ 若 $X_n$ 为无穷大，则 $y_n$ 必为无穷小． $\text{C.}$ 若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小。 $\text{D.}$ 若 $X_n$ 无界，则 $y_n$ 必为无穷小．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小函数中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小？
$\text{A.}$ $\ln (1+x)-x$ $\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-1-x$ $\text{C.}$ $\sin x-x$ $\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-1-x$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则下列函数在 $x=0$ 处必可导的是
$\text{A.}$ $|f(x)|$ ． $\text{B.}$ $|x f(x)|$ ． $\text{C.}$ $\left|x^2 f(x)\right|$ ． $\text{D.}$ $|f(x) \sin x|$ ．
填空题
函数 $y=\cos \frac{\pi x}{x^2+4}$ 的定义域为 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，则它的值域为
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $2 f(1+x)-f(1-x)=\mathrm{e}^x$ ，则 $f(x)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right) \cdot(1-\cos x) \cdot \arctan x}{\ln \left(1+x^2\right) \cdot\left(\sqrt{1+2 x^2}-1\right)}=$
设函数 $f(x)=x \sqrt{4-x^2}+4 \arcsin \frac{x}{2}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}+1, & x < 0, \\ 2+\sin a x, & x \geq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导，则常数 $a=$
设函数 $f(x)=\left(1-x^2\right) \mathrm{e}^{x^2}$ ，则 $f^{(20)}(0)=$
解答题
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}$ ．
设函数 $f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^x+\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}\right)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \sqrt{1+t^2}, \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 和 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ ．
设函数 $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ ，试求 $f^{(n)}(0)(n \geq 1)$ ．
心形线的极坐标方程为 $\rho=1+\cos \theta$ ，求该心形线在 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 所对应的点处的切线方程．
求曲线 $y=\left|x^3-3 x^2\right|$ 的凹凸区间．
求曲线 $y=\frac{2 x^2+x}{\sqrt{x^2+1}}$ 的斜渐近线．
证明题
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的导数 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，$f(0)=0$ ，且 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
（1）证明函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加；
（2）如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ ．证明函数 $F(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{f(x)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加．
设 $x_1=2, x_2=\frac{2}{3}, x_3=\frac{6}{5}, x_4=\frac{10}{11}, \cdots, x_{n+1}=\frac{2}{1+x_n}, \cdots$ ，证明数列 $x_n$ 收敛，并 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} X_n$ ．