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郑州大学线性代数期末考试题

发布日期 2025/11/12 8:32:47      查看 62      加入组卷      查看作者     
单选题
设行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=3 \quad$ 则 $\left|\begin{array}{ll}2 a_{11} & 3 a_{12} \\ 2 a_{21} & 3 a_{22}\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 6 $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ 18 $\text{D.}$ 27
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ 则 $|2 A|=$
$\text{A.}$ 16 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 12
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个零向量。 $\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有两个向量成比例。 $\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 $\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中每一个向量都可由其余向量线性表示。
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $A^{-1}$ 的一个特征值是（ ）
$\text{A.}$ $\lambda$ $\text{B.}$ $\frac{1}{\lambda}$ $\text{C.}$ $\lambda^2$ $\text{D.}$ $\lambda^{-2}$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 经正交变换化为标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2$ 则 $a, b$ 的值分别为（ ）
$\text{A.}$ $a=0, b=0$ $\text{B.}$ $a=0, b=1$ $\text{C.}$ $a=1, b=0$ $\text{D.}$ $a=1, b=1$
填空题
行列式 $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|=$
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ 则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,2,3)^T, \alpha_3=(1,3, t)^T$ 线性相关，则 $t=$
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $r(A)=2 \quad \xi_1, \xi_2$ 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的两个不同的解，则 $A x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right)$ 则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 的矩阵为
解答题
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20\end{array}\right|$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rl}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 求矩阵方程 $A X=B$ 的解 $X$
求向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1)^T, \alpha_2=(1,2,3,4)^T, \alpha_3=(1,3,5,7)^T, \alpha_4= (1,4,7,10)^T$ 的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrl}1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 5\end{array} \right)$ 求 $A$ 的特征值和特征向量。
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+5 x_2^2+5 x_3^2+ 4 x_1 x_2 4 x_1 x_3 8 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出正交变换矩阵。
证明题
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=A$ 证明：$r(A)+r(A-E)=n \quad$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，证明向量组 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+ \alpha_3, \beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关。