单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列语句中，（ ）是命题。
$\text{A.}$ 请把门关上
$\text{B.}$ $x+5>6$
$\text{C.}$ 地球外的星球上也有人
$\text{D.}$ 下午有会吗？
设 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{3,4,5\}$ ，则 $\mathrm{A}-\mathrm{B}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\{1,2\}$
$\text{B.}$ $\{1,2,3\}$
$\text{C.}$ $\{3\}$
$\text{D.}$ $\{4,5\}$
命题公式（ $\mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{q}$ ）to r 的成真赋值个数是 。
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 7 ．
设集合 $\mathrm{A}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}, \mathrm{A}$ 上的关系 $\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c}),(\mathrm{c}, \mathrm{a})\}$ ，则 R 的对称闭包 $\mathrm{s}(\mathrm{R})$ 是（ ）。
$\text{A.}$ $\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c}),(\mathrm{c}, \mathrm{a}),(\mathrm{b}, \mathrm{a}),(\mathrm{c}, \mathrm{b}),(\mathrm{a}, \mathrm{c})\}$
$\text{B.}$ $\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c}),(\mathrm{c}, \mathrm{a})\}$
$\text{C.}$ $\{(\mathrm{a}, \mathrm{a}),(\mathrm{b}, \mathrm{b}),(\mathrm{c}, \mathrm{c})\}$
$\text{D.}$ $\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c})\}$
若 $f: A$ to $B, g: B$ to $C$ 都是双射函数，则 $(g \circ f)^{\wedge}-1$ 等于 。
$\text{A.}$ $g^{\wedge}-1 \circ f^{\wedge}-1$
$\text{B.}$ $\mathrm{f}^{\wedge}-1 \circ \mathrm{~g}^{\wedge}-1$
$\text{C.}$ $\mathrm{g} \circ \mathrm{f}$
$\text{D.}$ $f \circ g$
一个无向图 $\mathrm{G}=(\mathrm{V}, \mathrm{E})$ 是连通图且无回路，则 G 是
$\text{A.}$ 完全图
$\text{B.}$ 树
$\text{C.}$ 欧拉图
$\text{D.}$ 哈密顿图。
设 G 是一个有 n 个顶点， m 条边的连通平面图， r 是其面数，则 $\mathrm{n}-\mathrm{m}+\mathrm{r}$等于（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4 ．
谓词公式 $\forall x(P(x)$ to $\exists y Q(x, y))$ 的前束范式是（ ）
$\text{A.}$ $\forall x \exists y(P(x)$ to $Q(x, y))$
$\text{B.}$ $\exists \mathrm{x} \forall \mathrm{y}(\mathrm{P}(\mathrm{x})$ to $\mathrm{Q}(\mathrm{x}, \mathrm{y}))$
$\text{C.}$ $\forall \mathrm{x} \forall \mathrm{y}(\mathrm{P}(\mathrm{x})$ to $\mathrm{Q}(\mathrm{x}, \mathrm{y}))$
$\text{D.}$ $\exists x \exists y(P(x)$ to $Q(x, y))$
设 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{A}$ 上的偏序关系 R 的哈斯图如下，则元素 4 的极小元是（此处虽不能画图，但可想象哈斯图结构， 4 在最上层， 1 在最下层， $2 、 3$ 在中间层且 1 到 $2 、 1$ 到 3 有边， 2 到 $4 、 3$ 到 4 有边）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4 ．
设 Z 是整数集，在 Z 上定义二元运算＊为 $\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\mathrm{a}+\mathrm{b}-1$ ，则关于运算 ＊， Z 的么元是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2 ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 p ：天下雨， q ：我骑自行车上班，则命题＂除非天下雨，否则我骑自行车上班＂可符号化为 。
集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}$ 上的等价关系 R 有 个。
设 G 是一个 n 阶无向简单图，若 G 中任意两个不相邻的顶点的度数之和 ________ ，则 G 是哈密顿图。
谓词公式 $\exists \mathrm{xA}(\mathrm{x})$ to $\forall \mathrm{xB}(\mathrm{x})$ 的否定式为
设 $A=\{a, b\}, B=\{1,2\}$ ，则 $A \times B$ 的幂集 $P(A \times B)$ 的元素个数是。
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求命题公式 $A=(p$ to $q) \wedge(\neg q \vee r)$ 的主析取范式和主合取范式。
设集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{A}$ 上的关系 $\mathrm{R}=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}$ ，求 R 的传递闭包 $t(R)$ 。
求 G 中长度为 2 的通路和回路总数： A=(0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0)
求G中长度为 2 的通路的总数以及回路的总数
某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。选派必须满足以下条件：
若赵去，则钱也去；
李、周两人中至少去一人；
钱、孙两人中去且仅去一人；
孙、李两人同去或同不去；
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明在自然推理系统中，$\{p$ to（ $q$ to $r$ ），$p \wedge q\}$ vdash $r$ 。
设G是群，a, b ∈ G，证明$(ab)^{-1}$ =$ b^{-1}a^{-1}$。