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中南大学2021年《高数》《线代》《概率》期末试题大合考5

发布日期 2025/10/28 16:15:54      查看 61      加入组卷      查看作者     
单选题
若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r ，则必有（）．
$\text{A.}$ $r=s$ $\text{B.}$ $r>s$ $\text{C.}$ $r=s+1$ $\text{D.}$ $\mathrm{r} < \mathrm{s}$
已知向量组 $\alpha_1=(1,1,1,0), \alpha_2=(0, k, 0,1), \alpha_3=(2,2,0,1), \alpha_4=(0,0,2,1)$ 线性相关，则 $k =(\quad)$
$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ -2 $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ 1
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是（））
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中含有零向量 $\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中有两个向量的对应分量成比例 $\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中每一个向量都可由其余 $s-1$ 个向量线性表示 $\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个向量可由其余 $s-1$ 个向量线性表示
对于向量组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r\right)$ ，因为 $0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+0 \boldsymbol{\alpha}_r=0$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是
$\text{A.}$ 全为零向量； $\text{B.}$ 线性相关； $\text{C.}$ 线性无关； $\text{D.}$ 任意。
设 $A, B$ 均为 n 阶矩阵，且 $A B=O$ ，则必有
$\text{A.}$ $A=O$ 或 $B=O$ $\text{B.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$ $\text{C.}$ $A+B=O$ $\text{D.}$ $|A|+|B|=0$
若非齐次线性方程组 $A_{m \times n} X=b$ 的（ ），那么该方程组无解．
$\text{A.}$ 秩 $(A)=n$ $\text{B.}$ 秩 $(A)=m$ $\text{C.}$ 秩 $(A) \neq$ 秩 $(\bar{A})$ $\text{D.}$ 秩 $(A)=$ 秩 $(\bar{A})$
若线性方程组的增广矩阵为 $\bar{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & \lambda & 2 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right)$ ，则当 $\lambda=$（ ）时线性方程组有无穷
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的特征值，则 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一个特征值是
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{3}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
若二次型$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(k+1) x_1^2+(k-2) x_2^2+(k-3) x_3^2$ 正定，则
$\text{A.}$ $k>-1$ $\text{B.}$ $k>1$ $\text{C.}$ $k>2$ $\text{D.}$ $k>3$
已知 $\alpha=(1, k, 1)^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $k=$
$\text{A.}$ 1 或 2 $\text{B.}$ -1 或 -2 $\text{C.}$ 1 或 -2 $\text{D.}$ -1 或 2
解答题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+x^2 & x < 0 \\ 1 & x=0, \\ \ln \left(b+x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续可导，试确立 $a, b$ 并求 $f^{\prime}(x)$
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ 讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 在 $(0,0)$
（1）偏导数是否存在。
（2）是否可微。
在过点 $P(1,3,6)$ 的所有平面中，求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x$
$\iint \mid x^2+y^2-4| \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leq 9$ 。
将向量 $\beta$表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合：
（1）$\alpha_1=(1,1,-1), \alpha_2=(1,2,1), \alpha_3=(0,0,1), \beta=(1,0,-2)$
问 $\lambda, \mu$取何值时，齐次方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
\lambda x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+\mu x_2+x_3=0 \\
x_1+2 \mu x_2+x_3=0
\end{array}\right.
$$

有非零解？
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1-x_2+x_3=1 \\
-x_1-2 x_2+x_3=-1 \\
x_1-3 x_2+2 x_3=c
\end{array}\right.
$$


试问 $c$ 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。
求一个正交变换化下列二次型为标准型：
（1）$f=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+4 x_2 x_3$
证明题
设 $f(x, y)$ 在 $x^2+y^2 \leq 1$ 上连续，求证： $\lim _{R \rightarrow 0} \frac{1}{R^2} \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} f(x, y) d \sigma=\pi f(0,0)$ 。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-4)^n$ 收敛区间及和函数 $S(x)$ ：
求解 $y^{\prime}=\frac{1+y^2}{x y+x^3 y}, y(1)=0$ ；
求解 $x y^{\prime}+x \tan \frac{y}{x}-y=0, y(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
求解 $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$ 满足 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ ．
求解 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e^x$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1$ ；
设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^x$ 的一个特解为 $y=e^{2 x}+(1+x) e^x$ ，试确定 $\alpha, \beta, \gamma$ ，并求该方程的通解．
计算下列行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right|$ ，
计算下列行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2\end{array}\right|$
证明：

$$
\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
$$
设 $A X+E=A^2+X$ ，且 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $X$ ．
已知矩阵 $\left[\begin{array}{ll}a & 1 \\ a & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}b & 1 \\ 0 & b^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}6 & 7 \\ 6 & 3\end{array}\right]$ ，求常数 $a, b$ ．