求函数 $y=x^{\frac{1}{x}}+\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的极值．
计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(x+2) \sin x}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$ ．
设 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=\frac{\cos x}{x}$ ，求 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．
求过点 $(-1,2,1)$ 且与两平面 $x-y+z-1=0$ 和 $2 x+y+z+1=0$ 都垂直的平面方程．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{x^2}, & x \geq 0, \\ \sqrt{1-x^2}, & -1 \leq x < 0\end{array}\right.$ ，计算 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
已知 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(x)=\int_0^x(x-t)^2 g(t) \mathrm{d} t$ ，且 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x=1$ ．求 $f^{\prime \prime}(x)$ ，并计算 $f^{\prime \prime}(1)$ ．
设曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1-x^2$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，过原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=x^2$ 围成平面图形 $D$ ．求：
（1）$D$ 的面积 $S$ ；（2）$D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
求伯努利方程 $y^{\prime}+y-x \sqrt{y}=0$ 的通解．
求二阶微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=(2 x+1) \mathrm{e}^x, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解．