单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1 ．
设 $y=x^3 \sin 2 x$ ，则 $y^{(20)}(x)$ 的表达式中 $x \sin 2 x$ 的系数为
$\text{A.}$ $2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{B.}$ $-2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{C.}$ $2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{D.}$ $-2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{|x|^m+|y|^n}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 其中 $m, n$ 是两个正整数，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续的充要条件是
$\text{A.}$ $m>2$ 且 $n>2$ ．
$\text{B.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n>2$ ．
$\text{C.}$ $m>2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
$\text{D.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
下列（1）（2）（3）（4）四个结论中，正确结论的个数是
（1）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=0, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）若 $a_n \leqslant c_n \leqslant b_n, \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛。
（3）若 $a_n>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则存在正整数 $k$ ，当 $n>k$ 时，$a_n \geqslant \frac{1}{n}$ ．
（4）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 至少有一个发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_n\right|+\left|b_n\right|\right)$ 发散．
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 1.
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．
已知向量组（ I ） $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ ，（II） $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，则
$\text{A.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{B.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{C.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$\text{D.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，且 $F(0)=0$ ，则下列函数可作为分布函数的是
$\text{A.}$ $G_1(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $G_2(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $G_3(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $G_4(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
将长度为 1 米的木棒随机地截成两段，设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$ ，第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$ ，则 $X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$ ．
$\text{D.}$ 1 ．
一颗陨石等可能地坠落在区域 $A_1, A_2 . A_3, A_4$ 后，有关部门千方百计地要找到它．根据现有的搜索条件，如果陨石坠落在 $A_i$ ，则在该区域被找到的概率是 $p_i$（这里 $p_i$ 是由 $A_i$ 的地貌条件决定的，$i=1,2,3,4$ ）．现对 $A_1$ 搜索后没有发现这块陨石，则陨石坠落在 $A_4$ 的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1-p_1}{4-p_1}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{4-p_1}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
曲面 $S:\left(x^2+y^2+z^2\right)^3=3 x y z$ 所围立体 $\Omega$ 的体积为 $V=$
级数 $\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right)^3$ 中 $x^{20}$ 的系数为
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量．已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布．令 $\left\{\begin{array}{l}U=|X+Y|, \\ V=|X-Y|, F(u, v) \text { 是 }(U, V) \text { 的联合分布函数，则 } F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\end{array}\right.$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在该点沿方向 $l=(1$ ， $-1,0)$ 的方向导数最大，并求出这个最大值．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，而且对任何 $x \in(0,1)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．求证：对任何正整数 $n$ ，有
$$
\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n},
$$
其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$ ．
（1）求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．
（2）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形．
（3）当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时，确定常数 $a$ ，使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵，并求二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 下的最大值．
设总体 $X \sim N\left(\alpha+\beta, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\alpha-\beta, \sigma^2\right), X$ 和 $Y$ 相互独立．
（1）若 $\alpha, \beta$ 末知，$\sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，试求 $\alpha, \beta$ 的矩估计量和最大似然估计量．
（2）求（1）中矩估计量及最大似然估计量的数学期望和方差．
（3）当 $\alpha, \beta, \sigma^2$ 为何值时，可使 $(X+Y)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布？