设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关，$\beta_1=2 \alpha_2+3 \alpha_3+\ldots+r \alpha_r, \beta_2=\alpha_1+3 \alpha_3+\ldots+r \alpha_r, \ldots \ldots$ ， $\beta_r=\alpha_1+2 \alpha_2+\ldots+(r-1) \alpha_{r-1}, \beta_{r+1}=\alpha_1+2 \alpha_2+\ldots+(r-1) \alpha_{r-1}+r \alpha_r$ ，则 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{r+1}$（选填 ＂线性相关＂，＂线性无关＂，＂无法确定＂）
设 I：$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 和 II：$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ 是线性空间 $V$ 中两个向量组，向量组 I 可由向量组 II 线性表示，且 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})$ ，则向量组 I 与向量组 II $\_\_\_\_$ （选填＂必等价＂，＂末必等价＂），$s$ 与 $t$ $\_\_\_\_$ （选填＂必相等＂，＂末必相等＂）
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 都是 4 维列向量，$A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 。已知齐次线性方程组 $A X=0$ 的通解是 $k(0,1,1,0)^{\prime}$ 。以 $A$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数是 $\_\_\_\_$ ，而 $\_\_\_\_$是它的一个基础解系。
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 分别有 $l, m$ 个线性无关解向量，且 $l+m>n$ ，则 $(A+B) x=0$＿＿（ 选填＂必有＂，＂末必有＂）非零解。
设 $\left\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right\}$ ，$\left\{\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right\}$ 是 V 的两组基，$\left(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right)=\left(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right) P$ 。又若 V 中向量 $\alpha$ 在基 $\left\{\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right\}$ 下的坐标向量是 $X$ ，则 $\alpha$ 在基 $\left\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right\}$ 下的坐标向量是 $\_\_\_\_$
设 $V_1, V_2$ 都是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim}\left(V_1+V_2\right)=\operatorname{dim} V_1+1$ ，则 $\operatorname{dim} \mathrm{V}_2-\operatorname{dim}\left(\mathrm{V}_1 \cap \mathrm{~V}_2\right)=$
设 $\varphi$ 是 V 到 U 的线性映射，且 $\varphi\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)=\left(\eta_1, \eta_2\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\left\{\xi_1, \xi_2, \xi_3\right\}$ ，$\left\{\eta_1, \eta_2\right\}$ 分别是 V 和 U 的一组基，则 $\operatorname{Ker} \varphi=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{Im} \varphi=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，由 $X \mapsto A X$ 定义了 $\mathrm{R}^{2 \times 1}$ 上的线性变换 $\varphi$ ，则 $\varphi$ 的不变子空间是 $\_\_\_\_$