填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{a}=[1,4,3]^T, \boldsymbol{b}=[1,-1,2]^T$ ，则 $\left(\boldsymbol{a b}^T\right)^{100}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$
设 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 都是三元列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_2,-\boldsymbol{a}_1\right],|\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{u}_1=[2,1,1]^T$ 和 $\boldsymbol{u}_2=[1,0,0]^T$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个解，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为
设向量组 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_4$ 线性无关， $\boldsymbol{b}_1=\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{b}_2=2 \boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{b}_3=3 \boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_4, \boldsymbol{b}_4=4 \boldsymbol{a}_4+k \boldsymbol{a}_1$ ，则向量组 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{b}_4$ 线性相关的充要条件是 $k$ 满足
向量 $\boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right]$ 在基 $\boldsymbol{a}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{a}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right], \boldsymbol{a}_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 5\end{array}\right]$ 下的坐标向量为
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=0, \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1, \operatorname{r}(2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+k x_2^2+4 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 k x_2 x_3$ 为正定二次型的充要条件是 $k$ 满足
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}k & 2 & 2 & 2 \\ 2 & k & 2 & 2 \\ 2 & 2 & k & 2 \\ 2 & 2 & 2 & k\end{array}\right], r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$ ，则 $k$ 需满足
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）求过点 $P_0(1,1,0)$ 且平行于向量 $\vec{a}=2 \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$ 和 $\vec{b}=\vec{i}+2 \vec{j}$ 的平面方程。
（2）将直线 $L$ 的一般式方程 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=0 \\ x+y-2 z=2\end{array}\right.$ 化为对称式方程。
计算$ \left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
已知向量组 $\boldsymbol{a}_1=[1,-2,0,1]^T, \boldsymbol{a}_2=[-1,3,2,-2]^T, \boldsymbol{a}_3=[1,-1,2,0]^T$ ，$\boldsymbol{a}_4=[0,1,3,1]^T, \boldsymbol{a}_5=[2,-6,-5, k]^T$ 的秩为 3 ，求 $k$ 及该列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{E}$ ，求 $\boldsymbol{X}$ ．
当 $a, b$ 满足什么条件时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=0 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3=b \\ -x_1-3 x_2+a x_3=-2\end{array}\right.$有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时，求该方程组的通解．
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ 与 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & b\end{array}\right]$ 相似，
（1）求 $a$ 和 $b$ ．
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
（3）设 $\boldsymbol{u}=[x, y, z]^T$ ，试问方程 $\boldsymbol{u}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{u}=1$ 表示什么曲面？
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实方阵， $\boldsymbol{A}$ 的每个元素都与其对应的代数余子式相等，$|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，证明：$\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 -1 和 1 对应的特征向量， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ，证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关．