解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知命题 $p: \forall x \in R, x^2+2 x+a \geqslant 0$ ，命题 $q: \exists x \in\left\{x \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right.\right\}, x^2-a \geqslant 0$ ．若命题 $p$ 和命题 $q$ 至少有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=4 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \omega x-\sqrt{3}(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）将函数 $f(x)$ 的图象先向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，若 $g(x)$ 在区间 $[0, m]$ 上有且仅有 3 个零点，求 $m$ 的取值范围．
已知 $f(x)=a x^2+(a-1) x-1(a \in R)$ ．
（1）若 $f(x) \geqslant 0$ 的解集为 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ ，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x+3}{x-1} \leqslant 0$ 的解集；
（2）解关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant 0$ ．
已知函数 $f(x)=\log _2\left(4^x+1\right)+k x(k \in R)$ 是偶函数．
（1）求 $k$ 的值；
（2）设函数 $g(x)=\log _2\left(a \cdot 2^x-\frac{4}{3} a\right)$ ，其中 $a>0$ 若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a x^2-x+\sin x$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的极小值；
（2）当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．