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华南理工大学高等数学上期末考试

发布日期 2025/10/8 20:56:46      查看 76      加入组卷      查看作者     
填空题
设 $x \rightarrow 0$ 时， ${e}^{\tan x}-{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n=$
设 $y=\frac{1}{1+2x}$ ，则 $y^{(6)}(x)=$
若曲线 $y=a x^3+b x^2$ 的拐点为 $(1,3)$ ，则常数 $a= , b= $
曲线 $y=(2 x-1) \mathrm{e}^\frac{1}{x}$ 的渐近线方程为
$f(x)=\ln x$ 在 $x_0=1$ 处带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶泰勒公式为
已知 $f(x)=\frac{x^2-x}{|x|\left(x^2-1\right)}$ ，指出函数的间断点及其类型．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \sqrt{x^2-a^2}, x>1 \\ \mathrm{e}^{b(x-1)}-1, x \leq 1\end{array}\right.$ 在点 $x=1$ 处可导，求 $a, b$ 的值．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ 2 \arctan x-\ln \frac{1+x}{1-x}}{x^n}=C \neq 0$ ，试确定常数 $n$ 和 $C$ 的值
解答题
由方程 $x^y-2 x+y=0$ 确定了隐函数 $y=y(x)$ ，求微分 $\mathrm{d} y$
求由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\ln (1+t) \\ y=t^3+t^2\end{array}\right.$ 所确定函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
已知函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_0^x t^2 f(t-x) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$
$\int \frac{1-\sin x}{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$
$\int_1^{16} \arctan \sqrt{\sqrt{x}-1} \mathrm{~d} x$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$
已知三点 $M(1,2,-1), A(2,3,-1)$ 和 $B(1,3,0)$ ，计算：（1）以 $\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}$ 为邻边的平行四边形的面积；（2）求同时垂直于 $\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}$ 的单位向量 $\vec{n}_0$
求 $r=\sqrt{2} \sin \theta$ 和 $ r^2=\cos 2 \theta$ 围成图形的公共部分的面积
求由曲线 $y=\mathrm{e}^x, x=1, x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转所成立体的体积．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+3 y^2+z^2=9 \\ z^2=3 x^2+y^2\end{array}\right.$ 在点 $M_0(1,-1,2)$ 处的切线及法平面方程．
求由曲面 $z=2 x^2+2 y^2$ 及 $z=6-x^2-y^2$ 所围成的立体体积
判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}$ 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+\sin y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h(0 < h < a)$ 截出的顶部
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求此椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
计算曲线积分 $\int_L\left(e^x \sin y-m\right) d x+\left(e^x \cos y-m x\right) d y$ ，其中 $m$ 为常数，$L$ 为由点 $A(a, 0)$ 至原点 $O(0,0)$的上半圆周 $x^2+y^2=a x(a>0)$
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 2 x^3 d y d z+2 y^3 d z d x+3\left(z^2-1\right) d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ 的上侧．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{3^n \cdot n}$ 的收敛域及和函数．
求通过直线 $L:\left\{\begin{array}{c}x+y=0 \\ x-y+z-2=0\end{array}\right.$ 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线 $L_1: x=y=z$
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0$ 的解，使得该解所表示的曲线在点 $(0,2)$ 处与直线 $2 x-2 y+4=0$ 相切．
设函数 $f(u)$ 有二阶连续导数，而函数 $z=f\left(\mathrm{e}^x \sin y\right)$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=z \mathrm{e}^{2 x}
$$
试求出函数 $f(u)$
计算曲面积分
$$
\oint_{\Sigma}\left(x y^2 \cos \alpha+y x^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{dS},
$$
其中 $\Sigma$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 2 z$ 与锥体 $z \geq \sqrt{x^2+y^2}$ 的公共部分 $\Omega$ 的表面， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是其外法线方向的方向余弦．
求曲面 $S: \frac{x^2}{2}+y^2+\frac{z^2}{4}=1$ 到平面 $\pi: 2 x+2 y+z+5=0$ 的最短距离．
计算曲线积分 $\int_L\left(1+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^2 \mathrm{e}^{2 y}-1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为 $(x-2)^2+y^2=4$ 在第一象限内逆时针方向的半圆弧．
（非化工类做，本题 7 分）求幂级数 $x-\frac{1}{3} x^3+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots$ 的收敛域及其和函数
非化工类做）设函数 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，它在 $[-\pi, \pi]$ 上的表
达式为 $f(x)\left\{\begin{array}{l}1,0 < x < \pi \\ 0, x=0, \pm \pi \\ -1,-\pi < x < 0\end{array}\right.$ ，求 $f(x)$ 的 Fourier 级数及其和函数在 $x=-\pi$ 处的值
（化工类做）已知直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+y-1=0 \\ 3 x+z-2=0\end{array}\right.$ 和 $L_2: 1-x=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}$
证明：$L_1 / / L_2$ ，并求由 $L_1$ 和 $L_2$ 所确定的平面方程
（化工类做）设曲线积分 $\int_L x y^2 d x+y \varphi(x) d y$ 与路径无关，其中 $\varphi(x)$连续可导，且 $\varphi(0)=0$ ，计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^2 d x+y \varphi(x) d y$
在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标
证明题
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，利用定义证明函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ．
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} F(x+\Delta x)-F(x)=\lim _{\Delta x n \rightarrow 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t}{\Delta x},
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=1$ ，试证：
（1）存在 $\xi \in[0,1]$ ，使得 $|f(\xi)| \geq 4$ ；
（2）若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，则存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\eta)\right| \geq 4$ ．
设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，$F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) d v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}, G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) d \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) d x}$ ，其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}, \quad D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\} ;$

证明：当 $t>0$ 时，$F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．