解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, X_3$ 是简单随机样本，求 $\frac{2 X_1^2}{X_2^2+X_3^2}$ 服从的分布。
设 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$ ，求 $Y$ 服从的分布。
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n+1}$ 为来自总体 $X$ 的简单样本，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，求 $\sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{X_{n+1}-\bar{X}}{S}$ 所服从的分布。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \theta}, 0 < x < \theta \\
\frac{1}{2(1-\theta)}, \theta \leq x < 1, \\
0, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。
（1）求参数 $\theta$ 的矩估计量；
（2）判断 $4 \bar{X}^2$ 是否是 $\theta^2$ 的无偏估计量？
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}2 e^{-2(x-\theta)}, x>\theta \\ 0, x \leq \theta\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 为末知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 。
（1）求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）求估计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数；
（3）用 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 作为参数 $\theta$ 的估计量，是否具有无偏性。
设总体 $X \sim U(0, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，证明 $\hat{\theta}=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$是参数 $\theta$ 的一致估计量。