设

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right], \boldsymbol{B}_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 2 & \\
& & 3
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{A}_2=\left[\begin{array}{lll}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right], \boldsymbol{B}_2=\left[\begin{array}{lll}
3 & & \\
& 3 & \\
& & 3
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{A}_3=\left[\begin{array}{lll}
5 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 4
\end{array}\right], \boldsymbol{B}_3=\left[\begin{array}{lll}
0 & & \\
& 5 & \\
& & 5
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$


则 $\boldsymbol{A}_i$ 与 $\boldsymbol{B}_i(i=1,2,3)$ 相似，关系成立的个数是（ ）．

设
$$
f(x)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & x \\
1 & 2 & 0 & x^2 \\
1 & 3 & 3 & x^3 \\
1 & 4 & 6 & x^4
\end{array}\right|,
$$
则 $f(x+1)-f(x)=$ $\qquad$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n>1)$ ，满足 $\boldsymbol{A}^k=2 \boldsymbol{E}, k>2, \boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵， $\boldsymbol{A}^*$是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^k=$ $\qquad$ ．

计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+x_1^2 & x_1 x_2 & \cdots & x_1 x_n \\
x_2 x_1 & 1+x_2^2 & \cdots & x_2 x_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_n x_1 & x_n x_2 & \cdots & 1+x_n^2
\end{array}\right| .$

若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrrrr}3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^n=$

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 可逆，验证 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 的逆矩阵是 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}+ \boldsymbol{A B})^{-1} \boldsymbol{A}$.

设有向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1=[1,0,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=[1,1,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=[1,-1, a+ 2]^{\mathrm{T}}$ 和向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_1=[1,2, a+3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=[2,1, a+6]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=[2,1, a+4]^{\mathrm{T}}$ ．试问：当 $a$ 为何值时，向量组（I）与（II）等价？当 $a$ 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？

已知齐次线性方程组

$$
(\mathrm{I})\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 0 } \\
{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } = 0 } \\
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } + a x _ { 3 } = 0 }
\end{array} , \text { 和 ( II ) } \left\{\begin{array}{l}
x_1+b x_2+c x_3=0 \\
2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0
\end{array}\right.\right.
$$


同解，求 $a, b, c$ 的值．

设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ．
（1）求 $a, b$ 之值；
（2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交阵．