微分方程 $y^{\prime}=\frac{y^3}{x y^2-x^3}$ 的通解为
已知 $y_1=x e ^x+ e ^{2 x}, y_2=x e ^x+ e ^{-x}, y_3=x e ^x+ e ^{2 x}- e ^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，求此微分方程．
解方程 $y^{\prime \prime}+a^2 y=\sin x$（常数 $a>0$ ）．
微分方程 $y^{\prime \prime}-\frac{1}{x} y^{\prime}-x e ^x=0$ 的通解为 $\qquad$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y}$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解为
（仅数学一）求微分方程 $\cos y \frac{d y}{d x}-\sin y= e ^x$ 的通解．
设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0$ ， $x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数．
（1）试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\frac{ d ^2 x}{d y^2}+(y+\sin x)\left(\frac{ d x}{d y}\right)^3=0$变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程；
（2）求变换后的微分方程满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的解．
一半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面积 $S$ 成正比，比例系数 $K>0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left( e ^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= e ^{2 x} z$ ，求 $f(u)$ ．