填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
判别 $\sum_{n=1} \frac{ i ^n}{n}$ 级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛．
判别 $\sum_{n=1} \frac{(3+5 i )^n}{n!}$ 级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛．
判别$\sum_{n=2} \frac{ i ^n}{\ln n}$ 级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛．
判别 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+5 i }{2}\right)^n$ 级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛．
求收敛半径 $\sum_{n=1} \frac{n^n}{n!} z^n$
求收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty}(1+ i )^n z^n$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将函数 $f(z)=\left(3+\frac{z^2}{2}\right) \sin z$ 展开成 $z$ 的幂级数至 $z^5$ 的项．
将函数 $f(z)=\frac{1}{3-2 z}$ 分别展开为 $z$ 和 $z+1$ 的幂级数，并求其收敛半径．
将下列函数在指定点 $z_0$ 处展开为泰勒级数，并指出它们的收敛半径．
（1）$f(z)=\frac{1}{4-3 z}, z_0=1+ i$ ；
（2）$f(z)=\frac{1}{(z+2)^2}, z_0=1$ ．
将函数 $f(z)=\frac{z}{(z+1)(z+2)}$ 展开为 $(z-2)$ 的泰勒级数．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z-5}$ 展开为洛朗级数，其圆环域为：
（1） $0 < |z-3| < 2$ ；
（2） $2 < |z-3| < +\infty$ ．
求函数 $f(z)=\frac{ e ^z}{1-z}$ 在以下区域上的洛朗展开式．
（1）$|z| < 1$ ；
（2） $0 < |z-1| < \infty$ ．
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3$ ，求 $\oint_C \frac{d z}{z(z+1)^2}$ ．