解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)=a \ln \left(x^2+y^2\right)+\operatorname{iarctan} \frac{y}{x}$ 在 $x>0$ 解析，试确定 $a$ 的值．
已知 $u(x, y)=x^2-y^2$ ，求 $v(x, y)$ ，使函数 $f(z)=u+ i v$ 在复平面解析．
已知调和函数 $u(x, y)=x^2-y^2+x y$ ，试求其共轭调和函数 $v(x, y)$ 及解析函数 $f(z)=u(x, y)+ i v(x, y)$ ．
计算 $\operatorname{Ln}(1+ i )$ ；
计算 $\ln \left(e^{ i }\right)$