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李艳芳2025年硕士研究生入学考试数二模拟试卷第三套

发布日期 2025/7/22 20:31:26      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left( e ^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}- e ^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（ ）
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点． $\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点． $\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点． $\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
设函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{|\cos x|}=1$ ，则（）
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f^{\prime}(x)=1$ ． $\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导． $\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的左导数为 1 ． $\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的右导数为 1 ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right), A , B , C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A , B$ 不相似但合同． $\text{B.}$ $B , C$ 既相似又合同． $\text{C.}$ $A , C$ 不相似但合同． $\text{D.}$ $B , C$ 不相似但合同．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 可经正交变换化为标准形 $2 a y_1^2$ $-3 b y_2^2$ ，则下列选项中为 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形是（ ）
$\text{A.}$ $y_1^2$ ． $\text{B.}$ $-y_1^2$ ． $\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2$ ． $\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
填空题
设函数 $z(x, y)$ 由方程 $\ln z+y z+\cos x=2$ 确定，则 $\left. d z\right|_{(0,0)}=$
解答题
设二元函数 $z(x, y)$ 有连续的偏导数，且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=x\left( e ^y-1\right), z(x, 0)=0, z(0, y)=\frac{y^2}{2}-y$ ，求 $z(x, y)$ 的极值．
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足

$$
f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x
$$
（I）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 0 \\ a & 2 & b \\ 0 & b & 1\end{array}\right)$ ，且 $\alpha =(-1,1,1)^{ T }$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量．
（I）求 $a, b$ ；
（II）求正交变换 $x = Q y$ 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 化为标准形；
（III）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．

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