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临沂大学《线性代数》期末考试试卷

发布日期 2025/7/20 20:28:20      查看 50      加入组卷      查看作者     
单选题
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A$＊是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A$＊中位于 $(1,2)$ 的元素是（ ）
$\text{A.}$ -6 $\text{B.}$ 6 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ -2
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有（ ）
$\text{A.}$ $A =0$ $\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$ $\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B=C$ $\text{D.}$ $|A |\ne 0$ 时 $B = C$
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩（ $A ^{ T }$ ）等于（ ）
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4
设 $A x = b$ 是一非齐次线性方程组， $\eta _1, \eta _2$ 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）

$\text{A.}$ $\eta_1+\eta_2$ 是 $Ax =0$ 的一个解 $\text{B.}$ ${\frac{1}{2}} \eta _1+\frac{1}{2} \eta _2$ 是 $A x = b$ 的一个解 $\text{C.}$ $\eta_{1}- \eta_2$ 是 $Ax =0$ 的一个解 $\text{D.}$ $2 \eta _{1-} \eta _2$ 是 $A x = b$ 的一个解
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ 则（ ）
$\text{A.}$ A 与 B 相似 $\text{B.}$ A 与 B 不等价 $\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值 $\text{D.}$ A 与 B 合同
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
解答题
试计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & -1 & 2 \\
-5 & 1 & 3 & -4 \\
2 & 0 & 1 & -1 \\
1 & -5 & 3 & -3
\end{array}\right| $
给定向量组 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right), \quad \alpha _2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \quad \alpha _3=\binom{3}{0}, \quad\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \quad \alpha _4=\binom{4}{9}$ 。
试判断 $\alpha_4$ 是否为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合；若是，则求出组合系数。
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4\end{array}\right)$ ．求：
（1）秩（A）；
（2） $A$ 的列向量组的一个最大线性无关组。
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -3\end{array}\right)$ 的全部特征值为 1,1 和 -8 ．求正交矩阵 T 和对角矩阵 $D$ ，使 $T ^{-1} A T = D$
试用配方法化下列二次型为标准形

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-4 x_2 x_3,
$$

并写出所用的满秩线性变换。