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普通高校《线性代数》期末试题模拟试卷与解析

发布日期 2025/7/3 21:37:43      查看 74      加入组卷      查看作者     
单选题
设四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 & 4\end{array}\right|$ ，则 $D=()$
$\text{A.}$ 60 $\text{B.}$ 61 $\text{C.}$ 62 $\text{D.}$ 63
设 $A$ 为 n 阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*$ $\text{B.}$ $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$ $\text{C.}$ $(k A)^*=k^{n-1} A^*$ $\text{D.}$ 若 $|A|=0$ ，则 $A^*=0$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(A+B)=()$
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 3
设向量组 $\alpha_1=(1,2,3)^T, \alpha_2=(2,4,6)^T, \alpha_3=(3,6,9)^T$ ，则 ）
$\text{A.}$ 线性无关 $\text{B.}$ 线性相关且秩为 1 $\text{C.}$ 线性相关且秩为 2 $\text{D.}$ 线性相关且秩为 3
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\left|A^2+2 A\right|=()$
$\text{A.}$ 36 $\text{B.}$ 72 $\text{C.}$ 360 $\text{D.}$ 720
填空题
使用克莱姆法则解方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-3 y=2\end{array}\right.$ ，则 $x=$
设 3 阶矩阵 $A$ 满足 $|A|=2$ ，则 $\left|A^*\right|=$ $\qquad$ （其中 $A^*$ 为伴随矩阵）
设行列式 $D=\left|\begin{array}{lll}3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right|$ ，按第二行展开，则 $D=$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}k & 1 \\ 1 & k\end{array}\right]$ 正定，则 $k$ 满足的条件是
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $r(A)=2$ ，则 $r\left(A^T A\right)=$
解答题
计算四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，使用初等变换法求 $A^{-1}$
求向量组 $\alpha_1=(1,2,3)^T, \alpha_2=(2,3,4)^T, \alpha_3=(3,4,5)^T, \alpha_4=(4,5,6)^T$ 的一个极大线性无关组和秩。
解非齐次线性方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=6 \\
2 x_1+x_2+3 x_3=14 \\
3 x_1+4 x_2+2 x_3=16
\end{array}\right.
$$


并求其通解。
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的特征值和特征向量，并判断 $A$ 是否可对角化。
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+6 x_2 x_3$ 化为标准形
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+4 x_3^2+2 \lambda x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ ，问 $\lambda$ 为何值时，该二次型正定？
证明题
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$ ，证明：$r(A)+r(A-E)=n$ 。