单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知事件 $A 、 B$ 相互独立，事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$ ，事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P(A \cap B)$ 为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 0
设 $a>0, s \in R$ ．下列各项中，能推出 $a^s>a$ 的一项是（）
$\text{A.}$ $a>1$ ，且 $s>0$
$\text{B.}$ $a>1$ ，且 $s < 0$
$\text{C.}$ $0 < a < 1$ ，且 $s>0$
$\text{D.}$ $0 < a < 1$ ，且 $s < 0$
已知 $A(0,1), B(1,2), C$ 在 $\Gamma: x^2-y^2=1(x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $\triangle A B C$ 的面积
$\text{A.}$ 有最大值，但没有最小值
$\text{B.}$ 没有最大值，但有最小值
$\text{C.}$ 既有最大值，也有最小值
$\text{D.}$ 既没有最大值，也没有最小值
设 $\lambda \in[0,1]$ ，数列 $a_n=10 n-9$ ，数列 $b_n=2^n$ ．设 $c_n=\lambda a_n+(1-\lambda) b_n$ ．若对任意 $\lambda \in[0,1]$ ，长为 $a_n 、 b_n 、 c_n$ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 $n$ 有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 3个
$\text{C.}$ 4 个
$\text{D.}$ 无穷
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知全集 $U=\{x \mid 2 \leq x \leq 5, x \in R\}$ ，集合 $A=\{x \mid 2 \leq x < 4, x \in R\}$ ，则 $\bar{A}=$
不等式 $\frac{x-1}{x-3} < 0$ 的解集为
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=-3$ ，公差 $d=2$ ，则该数列的前 6 项和为
函数 $y=\cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的值域为
已知随机变量 $X$ 的分布为 $\left(\begin{array}{lll}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{array}\right)$ ，则期望 $E[X]=$
如图，在正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$B D=4 \sqrt{2}, D B_1=9$ ，则该正四棱柱的体积为
设 $a, b>0, a+\frac{1}{b}=1$ ，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为
4 个家长和 2 个儿童去爬山， 6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 $\qquad$种
已知复数 $z$ 满足 $z^2=(\bar{z})^2,|z| \leq 1$ ，则 $|z-2-3 i|$ 的最小值是
小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为 1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 $A 、 B$ ，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为 0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.45 米．则斜面的底角 $\theta=$ $\qquad$。（结果用角度制表示，精确到 $0.01^{\circ}$ ）
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x < 0\end{array}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right.$ 是平面内三个不同的单位向量．若 $f(\vec{a} \cdot \vec{b})+f(\vec{b} \cdot \vec{c})+f(\vec{c}$ ． $\vec{a})=0$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列。
206.78207 .46207 .95209 .34209 .35
210.68213 .73214 .84216 .93216 .93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据在 211 以上的概率；
（3）若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $y=-0.311 x+\hat{b}$ ，年份 $x$ 的平均数为 2006 ，预测 2028 年冠军队的成绩（精确到 0.01秒）。
如图，$P$ 是圆锥的顶点，$O$ 是底面圆心，$A B$ 是底面直径，且 $A B=2$ ．
（1）若直线 $P A$ 与圆锥底面的所成角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求圆锥的侧面积；
（2）已知 $Q$ 是母线 $P A$ 的中点，点 $C 、 D$ 在底面圆周上，且弧 $A C$ 的长为 $\frac{\pi}{3}, C D \| A B$ ．设点 $M$ 在线段 $O C$上，证明：直线 $Q M \|$ 平面 $P B D$ ．
已知 $f(x)=x^2-(m+2) x+m \ln x, m \in R$ ．
（1）若 $f(1)=0$ ，求不等式 $f(x) \leq x^2-1$ 的解集；
（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$ 上存在极大值，求 $m$ 的取值范围．
已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1(a>\sqrt{5}), M(0, m)(m>0), A$ 是 $\Gamma$ 的右顶点．
（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$ ，求离心率 $e$ ；
（2）若 $a=4$ ，且 $\Gamma$ 上存在一点 $P$ ，满足 $\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{M P}$ ，求 $m$ ；
（3）若 $A M$ 中垂线 $l$ 的斜率为 $2, l$ 与 $\Gamma$ 交于 $C 、 D$ 两点，$\angle C M D$ 为钝角，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $R$ ．对于正实数 $a$ ，定义集合 $M_a=\{x \mid f(x+a)=f(x)\}$ ．
（1）若 $f(x)=\sin x$ ，判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_\pi$ 中的元素，并说明理由；
（2）若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0\end{array}, M_a \neq \varnothing\right.$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x \in(0,1]$ 时，$f(x)=1-x$ ，且对任意 $a \in(0,2)$ ，均有 $M_a \subseteq M_2$ ．写出 $y=f(x), x \in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 $c$ ，函数 $y=f(x)-c$ 在 $[-3,3]$ 上至多有 9 个零点．