为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲，乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲，乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间 $[2,4]$ 的有 8 人．


（I）求直方图中 $a$ 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间 $(10,12]$ 的人数；
（II）从甲，乙两个班平均每天学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4 人中甲班学生的人数为 $k$ ，求 $k$ 的分布列和数学期望．

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ ；
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

甲，乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 $1,2,3$ 号．第一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛．当某队 3 名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜．如图表格中，第 $m$ 行，第 $n$ 列的数据是甲队第 $m$ 号队员能战胜乙队第 $n$ 号队员的概率．

（1）求甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率；
（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？

为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：


（1）根据上表数据，计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并说明 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱（已知： $0.75 \leq|r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性很强； $0.3 \leq|x| \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性一般，$|r| \leq 0.25$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性较弱）
（2）求 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程，并预测该地区 2019 年足球特色学校的个数（精确到个位）
参考公式：

$$
\begin{aligned}
& r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}, \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2=10, \sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)^2=1.3, \sqrt{13} \approx 3.6056 ; \\
& \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}
\end{aligned}
$$

新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控．实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的 8 个黑球和 2 个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为＂安全模型＂，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球）
（1）记在第 $n(n \geq 2)$ 次时，刚好抽到第二个红球，试用 $n$ 表示恰好第 $n$ 次抽到第二个红球的概率；
（2）数学实验的方式约定：若抽到第 2 个红球则停止抽球，且无论第 10 次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第 10 次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．精确到小数点后 1 位）

参考数据：$\sum_{k=2}^9\left(\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\right) \approx 1.80, \sum_{k=2}^{10}\left(\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\right) \approx 2.05$ ，

$$
\sum_{k=2}^9 k\left(\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\right) \approx 10.79, \sum_{k=2}^{10} k\left(\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\right) \approx 13.32 .
$$

新冠肺炎是2019年12月8日左右出现不明原因肺炎，在2020年2月11日确诊为新型冠状病毒肺炎．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID－19）是由严重急性呼吸系统综合征冠状病毒2 （severeacuterespiratorysyndromecoronavirus 2, SARS－CoV－2）感染后引起的一种急性呼吸道传染病，现已将该病纳入《中华人民共和国传染病防治法》规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防，控制措施． 2020 年 5 月 15 日，习近平总书记主持召开中共中央政治局会议，讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大会第三次会议审议的《政府工作报告》稿。会议指出，今年下一阶段，要毫不放松常态化疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作．某企业积极响应政府号召，努力做好复工复产工作．准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $f(x)$ 与产量 $x$ 的函数关系式为： $f(x)=\frac{x^3}{3}-3 x^2+20 x+10(x>0)$ ．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $g(x)$ 与产量 $x$ 的函数关系式如下表所示：

设 $Q_1(x), ~ Q_2(x), ~ Q_3(x)$ 分别表示市场情形好，中，差时的利润，随机变量 $\xi$ 表示当产量为 $x$ 时恧市场前景无法确定的利润。
（1）分别求利润 $Q_1(x), ~ Q_2(x), ~ Q_3(x)$ 的函数关系式；
（2）当产量 $x$ 确定时，求期望 $E \xi$ ；
（3）试问产量 $x$ 取何值时，期望 $E \xi$ 取得最大值．

＂硬科技＂是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿。在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 $x$（单位：千万元）对年销售量 $y$（单位：千万件）的影响，统计了近 10 年投入的年研发费用 $x$ ，与年销售量 $y_i( i =1,2,3, \cdots, 10)$ 的数据，得到如图所示的散点图．

（1）利用散点图判断，$y=a+b x$ 和 $y=c+d \ln x$（其中 $a, b, c, d$ 为大于 0 的常数）哪一个更适合作为年研发费用 $x$ 和年销售量 $y$ 的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：

其中令 $w_1=\ln x_{ i }, \bar{w}=\frac{1}{10} \sum_{ i =1}^{10} w_{ i }$ ．
根据（1）的判断结果及表中数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，并预测投入的年研发费用 28 千万元时的年销售量；
（3）从这 10 年的数据中随机抽取 3 个，记年销售量超过 30 （千万件）的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

参考数据和公式： $\ln 2 \approx 0.69, \ln 7 \approx 1.95$ ．对于一组数据 $\left(u_1, v_1\right),\left(u_2, v_2\right), \ldots,\left(u_n, v_n\right)$ ，其回归直线 $\hat{v}=\hat{\alpha}+\hat{\beta} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^n u_i v_i-n \overline{u v}}{\sum_{i=1}^n u_i^2-n \bar{u}^2}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(u_i-\bar{u}\right)\left(v_i-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(u_i-\bar{u}\right)^2}, \hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta} \bar{u}$ ．

某商场在＂双十二＂进行促销活动，现有甲，乙两个盒子，甲盒中有 3 红 2 白共 5 个小球，乙盒中有 1 红 4 白共 5 个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：

规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出 1 个红球奖励 100 元，每个顾客只有 3 次摸球机会（每次摸球都不放回）；

规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出 1 个红球奖励 100 元，每个顾客只有 3 次摸球机会（每次摸球都不放回）。
（1）按照＂规则一＂，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；
（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．