解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha = i + j , \beta = i - k$ ，求 $\alpha \cdot \beta , \alpha \times \beta ,| \alpha |$ 及 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角 $\theta$
设向量 $\beta$ 与 $\alpha=i-2 j+2 k$ 共线，与单位向量 $j$ 成锐角，且 $|\beta|=15$ ，求 $\beta$ ．
已知向量 $\gamma$ 垂直于向量 $\alpha =(1,2,1)$ 和 $\beta =(-1,1,1)$ ，并满足 $\gamma \cdot(i-2 j+k)=8$ ，求向量 $\gamma$ 。
设 $\alpha =(5,2,5), \beta =(2,-1,2)$ ，求 $\alpha$ 在 $\beta$ 上的投影向量及投影向量的长．
设 $\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha = 0$ ，证明 $\alpha , \beta , \gamma$ 共面．
已知平面过三点：$M_1(2,-1,3), M_2(0,-1,2), M_3(1,0,3)$ ，求此平面方程。
求过点 $A(4,0,-2)$ 和点 $B(5,1,7)$ 且平行于 $z$ 轴的平面方程．