解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $\overrightarrow{A C}= \alpha , \overrightarrow{B D}= \beta$ ，求 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}$ ．
判断下列等式何时成立：
（1）$| \alpha + \beta |=| \alpha - \beta |$ ，
（2）$| \alpha + \beta |=| \alpha |+| \beta |$ ，
（3）$| \alpha + \beta |=| \alpha |-| \beta |$ ，
（4）$\frac{ \alpha }{| \alpha |}=\frac{ \beta }{| \beta |}$ ．
已知 $\alpha =(3,5,4), \beta =(-6,1,2), \gamma =(0,-3,-4)$ ，求 $2 \alpha +3 \beta$ $+4 \gamma$ ．
已知点 $A(3,5,7)$ 和点 $B(0,1,-1)$ ，求向量 $A B$ ，并求 $A$ 关于 $B$的对称点 $C$ 的坐标．
判断下列向量中哪些是共线的．
$$
\begin{gathered}
\alpha _1=(1,2,3), \alpha _2=(1,-2,3), \alpha _3=(1,0,2), \alpha _4=(-3,6,-9), \\
\alpha _5=(2,0,4), \alpha _6=(-1,-2,-3), \alpha _7=\left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right), \alpha _8=\left(\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2}\right) .
\end{gathered}
$$
设 $\alpha , \beta , \gamma$ 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 $\alpha + \beta$与 $\gamma$ 共线， $\beta + \gamma$ 与 $\alpha$ 共线，试证 $\alpha + \beta + \gamma = 0$ 。
判断 $\alpha , \beta , \gamma$ 是否共面．
（1） $\alpha =(4,0,2), \beta =(6,-9,8), \gamma =(6,-3,3)$ ；
（2） $\alpha =(1,-2,3), \beta =(3,3,1), \gamma =(1,7,-5)$ ．
如图 ，在三角形 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, A D$ 是 $B C$ $\rightarrow \rightarrow$边上的高，求点 $D$ 在坐标系 $\{A: \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\}$ 下的坐标．
用定义证明矩阵线性空间 $M _{2 \times 2}( R )$ 中四个元素：
$$
E _{11}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right], E _{12}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right], E _{21}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right], E _{22}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$
线性无关。