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一套纯原创高中数学综合卷(作者知乎Otuck​)

发布日期 2025/2/15 15:26:58      查看 61      加入组卷      查看作者     
单选题
若实数 $a, b$ 满足 $\left|\frac{a+b}{2}\right| \geq \sqrt{a b}$ ，则要求
$\text{A.}$ $a \geq 0, b \geq 0$ $\text{B.}$ $a b>0$ $\text{C.}$ $a b \leq 0$ $\text{D.}$ $a b \geq 0$
复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z}=5, z+\bar{z}=2$ ，则 $|z-\bar{z}|=$

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 1
非零向量 $a , b$ 满足 $a \cdot b =\frac{\sqrt{7}-2}{2} a ^2=\frac{\sqrt{7}+2}{2} b ^2$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$ $\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上可导，则＂$f(x)$ 为奇函数＂是＂$f^{\prime}(x)$ 为偶函数＂的 $\qquad$条件．
$\text{A.}$ 充要 $\text{B.}$ 充分不必要 $\text{C.}$ 必要不充分 $\text{D.}$ 既不充分也不必要
实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}=\frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{4}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

$\text{A.}$ $9+\pi$ $\text{B.}$ $9+\frac{\pi}{2}$ $\text{C.}$ $10+\pi$ $\text{D.}$ $10+\frac{\pi}{2}$
对 定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，定义其一阶差分 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ ，二阶差分 $\Delta^2 f(x)=\Delta(\Delta f(x))=f(x+2)-2 f(x+1)+f(x), k$ 阶差分 $\Delta^k f(x)=\Delta\left(\Delta^{k-1} f(x)\right)$ ，其中 $k \in N ^*, k \geq 3$.

设关于 $x$ 的函数 $f(x)= C _x^{2022}(x \in R )$ ，则 $\Delta^{2022} f(2021)=$
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2021 $\text{D.}$ 2022 ！
在平面直角坐标系中，设点集 $M=\{(x, y) \mid 0 < x, y < \pi, \tan y>2 \tan x\}$ ，则 $M$ 表示的图形面积为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} \pi^2$ $\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
多选题
设 $P, Q, S$ 为集合，$A, B$ 为事件．下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $S \subseteq P$ 且 $S \subseteq Q$ ，则 $S \subseteq P \cap Q$ $\text{B.}$ 若 $S \supseteq P$ 且 $S \supseteq Q$ ，则 $\varsigma_S(P \cap Q)=\left(\complement_S P\right) \cap\left(\complement_S Q\right)$ $\text{C.}$ $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid B)=1$ $\text{D.}$ 若 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $P(A+B)=P(A)+P(B)$
称数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 为＂二阶递增数列＂，若数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 为递增数列．则下列数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 为＂二阶递增数列＂的是

$\text{A.}$ $a_n= e ^{-n}$ $\text{B.}$ $a_n=\ln \sqrt{n}$ $\text{C.}$ $a_n=f_n^2$ ，其中 $\left\{f_n\right\}$ 为 Fibonacci 数列 $\text{D.}$ $a_n$ 表示从 $2022+n$ 个互异的小球中选出 2022 个小球的方法数
四面体 $A B C D$ 满足 $B D=\sqrt{2}$ ，其余棱长均为 1 ．以正三角形 $A B C$ 为底面向外作正四面体 $A B C E$ ，从而构成有 5 个顶点的多面体 $N$ ．下列说法正确的是
$\text{A.}$ 多面体 $N$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\text{B.}$ 多面体 $N$ 是四棱锥 $\text{C.}$ 多面体 $N$ 有内切球，其表面积为 $(2-\sqrt{3}) \pi$ $\text{D.}$ 棱长为 2 的正四面体中最多能容纳 3 个多面体 $N$
下列说法正确的是

$\text{A.}$ 存在定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，使得 $f(x)$ 与 $f(f(x))$ 的图像恰有 2022 个交点 $\text{B.}$ 存在定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，使得 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 的图像恰有 2022 个交点 $\text{C.}$ 存在定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，满足 $f(f(x))=\sqrt{2} x, \forall x \in R$ $\text{D.}$ 存在定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，满足 $f(f(x))=-x, \forall x \in R$
填空题
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，线段 $A B$ 的长始终为定值（不为
0 ），线段 $A B$ 的一个三等分点的轨迹的离心率为
$n\left(n \in N ^*\right)$ 维空间内，每个点用一个 $n$ 元数组表示．$n$ 维正方体的顶点是所有由 0 和 1 组成的 $n$ 元数组，即 $\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)$ ，其中 $\varepsilon_j \in\{0,1\}, j=1,2, \cdots, n$ ．若两个顶点恰有一个分量不同，则用边将这两点相连，并称此边为正方体的棱． $n$ 维正方体有 $\qquad$个顶点， $\qquad$条棱．
$(x-1)(2 x-1) \cdots(70 x-1)$ 的展开式中二次项系数与一次项系数之比为
与三角形的一边以及另两边的延长线都相切的圆称为三角形的旁切圆，其圆心称为旁心．
任一三角形均有三个旁切圆，其中与边 $B C$ 以及 $A B, A C$ 的延长线都相切的称为 $A$－旁切圆。
$\triangle A B C$ 中，$A-$ 旁切圆 $\odot I$ 与边 $B C$ 切于点 $D$ ．若 $A D=2, \triangle A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{I A} \cdot \overrightarrow{I D}$ 的最小值为 $\qquad$ ．
解答题
$\triangle A B C$ 的三边长为 $a, b, c, a < b < c$ 且 $a, b, c \in Z , \frac{a+b}{c} \geq \frac{3}{2}, \triangle A B C$ 的周长为 20 ．求 $\triangle A B C$ 的外接圆半径与内切圆半径之比．
给定一个正三棱锥，记其侧面三角形的顶角为 $\alpha$ ，侧面与底面所成的锐二面角大小为 $\beta$ ．
（1）求 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足的关系式（可以用 $\alpha, \beta$ 的三角函数表示）；
（2）求证：该正三棱锥的侧面积与底面积之比为 $\sqrt{3} \cot \frac{\alpha}{2}$ ．
设数列 $\left\{c_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $c_m+c_n+c_l=m!+n!+l!$ 对所有两两不同的正整数 $m, n, l$ 均成立．
（1）求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $a_1>0, c_{n-1} a_{n+1}=a_1 a_2 \cdots a_n+c_n, n \in N ^*$ ．求证：$\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < \frac{2}{a_1}$ ．
通常记 $\sum_{k=m}^{\infty} f(k)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=m}^n f(k)$ ．如 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=2$ 。离散型随机变量 $\xi$ 的数学期望定义为 $E(\xi)=\sum_{k \in S} k P(\xi=k)$ ，其中 $S$ 为 $\xi$ 的取值集合．特别地，若 $S=\{m, m+1, \cdots\}$ ， $m \in N ^*$ ，则 $E(\xi)=\sum_{k=m}^{\infty} k P(\xi=k)$ ．

ZB 面前放有三张卡片，上面分别写有 $S , X , Z$ 各一个字母． ZB 每次随机选取一张卡片，记录上面的字母并放回。当 ZB 按次序选到过 $S , X , Z$（不要求相邻）时停止选取．例如，依次选取到 SSXXZ 或 XXSSZXSXSXXZ 时均可以停止选取。
（1）求 ZB 的总选取次数的数学期望；
（2）求证：$\sum_{k=3}^{\infty} C _k^3\left(\frac{2}{3}\right)^k=24$ ．
对底数和指数均含有自变量的函数求导时，常用对数求导法．例如：
$$
\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{\prime}=\left(e^{\frac{1}{x} \ln x}\right)^{\prime}=e^{\frac{1}{x} \ln x}\left(\frac{1}{x} \ln x\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2}(x>0) .
$$
设函数 $f(x)=|\sin x|^{\cos x}, g(x)=|\cos x|^{\tan x}, h(x)=f(x)-g(x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性和极值；
（2）求 $h(x)$ 在区间 $(-\pi, 2022 \pi)$ 上所有零点之和；
（3）设 $x_1, x_2 \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$ ．证明：$x_1+x_2 < \frac{\pi}{2}$ ．
椭圆具有奇妙的光学性质：从一个焦点设出的光线，经过椭圆上的一次反射后，反射光线一定经过另一个焦点即：对于椭圆上任一点，它与两焦点的连线和过该点的楠圆切线所夹的角相同．双曲线，抛物线均有类似的光学性质。

一列椭圆 $\left\{\Gamma_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $\Gamma_n: \frac{x^2}{a_n^2}+\frac{\left(y-t_n\right)^2}{b_n^2}=1$ 的离心率为定值，其两个焦点均在 $y$轴上， $0 < t_1 < t_2 < \cdots, \Gamma_n$ 与 $\Gamma_{n+1}$ 均外切，且 $\Gamma_n$ 与抛物线 $E: y=x^2$ 相切，$T_n$ 为一个切点．已知 $\Gamma_1$ 的焦距为 $2, \Gamma_2$ 的焦距为 $2(\sqrt{2}+1)$ ．
（1）求 $\Gamma_n$ 的方程；
（2）记 $E$ 的焦点为 $F, \Gamma_n$ 的焦点为 $F_{n 1}$ 和 $F_{n 2}$ ．证明：$\left|F T_n\right|^2=\left|F F_{n 1}\right| \cdot\left|F F_{n 2}\right|$ ；
（3）用足够多与 $\Gamma_{2022}$ 全等的椭圆片均匀地密铺平面（所有椭圆片的长轴平行或共线，且每个椭圆均与相邻的 6 个椭圆外切）．求平面的覆盖率．