已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n-a_{n+1}=2 a_n a_{n+1}$ ，记 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，求数列 $\left\{(-1)^n S_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和 $T_n$ ．
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_2=3, a_n=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}\left(n \in N^*\right.$ 且 $\left.n \geq 2\right)$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\frac{a_n}{2^n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=4 a_n-3 n+1\left(n \in N^{+}\right)$
（1）证明：数列 $\left\{a_n-n\right\}$ 是等比数列．（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $\frac{4 S}{\tan B}=a^2 \cos B+a b \cos A$ ．
（1）求角 $B$ ；（2）若 $b=3, \triangle A B C$ 的周长为 $l$ ，求 $\frac{S}{l}$ 的最大值．
已知公差不为零的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_2=3$ ，且 $a_1, a_3, a_7$ 成等比数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\frac{1}{2 S_n-a_n+1}$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明：$T_n < \frac{3}{4}$ ．
设 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} a_n+n, n \text { 为奇数，} \\ a_n-2 n, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）求 $a_4$ ，并证明：$\left\{a_{2 n}-2\right\}$ 是等比数列；
（2）求满足 $S_{2 n}>0$ 的所有正整数 $n$ ．
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_4=4 S_2, a_{2 n}=2 a_n+1\left(n \in N^*\right)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=2^n$ ，令 $c_n=a_n b_n$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin B=b \sin \left(\frac{\pi}{3}+A\right)$ ．
（1）求 $A$ 的大小；（2）若 $A D$ 为 $B C$ 上的高，且 $A D=2$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的最小值．