解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $f(t)= \begin{cases}3, & 0 \leq t < \frac{\pi}{2} \\ \cos t, & t \geq \frac{\pi}{2}\end{cases}$ 拉氏变换。
求拉普拉斯变换 $f(t)=e^{2 t}+5 \delta(t)$
求拉普拉斯变换 $f(t)=(t-1)^2 e^t$
求拉普拉斯变换 $f(t)=(t-1)^2 e^2$
利用拉氏变换的性质，计算 $L [f(t)]$, $f(t)=t e^{-3 t} \sin t$
利用拉氏变换的性质，计算 $L [f(t)]$, $f(t)=t \int_0^t e^{-3 t} \sin 2 t d t$
利用拉氏变换的性质 $\int_0^t \frac{e^{-3 t} \sin 2 t d t}{t} d t$
求积分 $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}-e^{-2 t}}{t} d t$
求 $\frac{s}{(s-a)(s-b)}$ 函数 $F(s)$ 的拉氏逆变换。
求 $\frac{1}{s^4+5 s^2+4}$ 函数 F(s)的拉氏逆变换
求 $\ln \frac{s^2-1}{s^2}$函数 F(s)的拉氏逆变换
求 $\frac{1+e^{-2 s}}{s^2}$ 函数 F(s)的拉氏逆变换
利用卷积定理证明 $ L \left[\int_0^t f(t) d t\right]= L [f(t) * u(t)]=\frac{F(s)}{s} $
用拉氏变换求下列微分方程。
$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^t, \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0$
用拉氏变换求下列微分方程 $y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}=\cos t, \quad y(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=C$（常数）
用拉氏变换解方程
$$
\left\{\begin{array}{lc}
y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime}+x^{\prime}-y=e^t-2, & x(0)=x^{\prime}(0)=0 \\
2 y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+x=-t, & y(0)=y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$