解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列函数在指定点处的留数。 $\frac{1}{(z-1)(z+1)}, z= \pm 1$
求下列函数在指定点处的留数 $\frac{1-e^{2 z}}{z^4}, z=0$
求下列函数在孤立奇点处的留数。 $\frac{\sin 2 z}{(z+1)^3}$
求下列函数在孤立奇点处的留数。$\frac{e^{\frac{1}{z}}}{1-z}$
求下列函数在孤立奇点处的留数。 $e^{z+\frac{1}{z}}$
判定 $z=\infty$ 是下列函数的什么奇点，并求出在 $\infty$ 的留数。
（1）$z+\frac{1}{z}$
（2） $\sin z-\cos z$
利用留数计算下列复积分 $\oint_{|z|=\frac{3}{2}} \frac{e^z}{(z-1)(z+3)^2} d z$
利用留数计算 $\oint_{|z|=1} \frac{d z}{(z-a)^n(z-b)^n}$（ $n$ 为整数，$\left.|a| \neq 1,|b| \neq 1,|a| < |b|\right)$
利用留数计算 $\oint_{|z|=3} \frac{z^{15}}{\left(z^3+1\right)^2\left(z^4+2\right)^3} d z$
利用留数求下列定积分。 $\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{a+\cos \theta} \quad(a>1)$
利用留数求下列定积分。$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{a+\cos ^2 \theta} \quad(a>0)$
利用留数求下列定积分。 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+1} d x$
利用留数求下列定积分。 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^2\right)^3} d x$
利用留数求下列定积分。$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+9} d x$
利用留数求下列定积分。$\int_0^{+\infty} \frac{x \sin \beta x}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x \quad(\beta>0, b>0)$