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高中数学不等式专项训练-基本型与倒数型

发布日期 2025/1/9 20:02:22      查看 66      加入组卷      查看作者     
单选题
下列不等式一定成立的是（ ）
$\text{A.}$ $\lg \left(x^2+\frac{1}{4}\right)>\lg x \quad(x>0)$ $\text{B.}$ $\sin x+\frac{1}{\sin x} \geq 2 \quad(x \neq k \pi, k \in Z)$ $\text{C.}$ $x^2+1 \geq 2|x| \quad(x \in R)$ $\text{D.}$ $\frac{1}{x^2+1} \geq 1 \quad(x \in R)$
对于任意 $a, b \in R$ ，下列不等式一定成立的是
$\text{A.}$ $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$ $\text{B.}$ $a+\frac{1}{a} \geqslant 2$ $\text{C.}$ $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2$ $\text{D.}$ $\left|\frac{b}{a}\right|+\left|\frac{a}{b}\right| \geq 2$
下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $x+\frac{1}{x}(x>0)$ 的最小值是 2 $\text{B.}$ $\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$ 的最小值是 2 $\text{C.}$ $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ $\text{D.}$ 若 $x>0$ ，则 $2-3 x-\frac{4}{x}$ 的最大值是 $2-4 \sqrt{3}$
下列不等式证明过程正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $a, b \in R$ ，则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2$ $\text{B.}$ 若 $x>0, y>0$ ，则 $\lg x+\lg y \geq 2 \sqrt{\lg x \cdot \lg y}$ $\text{C.}$ 若 $x < 0$ ，则 $x+\frac{4}{x} \geq-2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=-4$ $\text{D.}$ 若 $x < 0$ ，则 $2^x+2^{-x}>2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2$
在下列函数中，最小值是 $2 \sqrt{2}$ 的是
$\text{A.}$ $y=x+\frac{2}{x}(x \neq 0)$ $\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$ $\text{C.}$ $y=\sqrt{x^2+3}+\frac{2}{\sqrt{x^2+3}}$ $\text{D.}$ $y=e^x+\frac{2}{e^x}$
已知 $a, b, c \in R$ 且 $a+b+c=0, a>b>c$ ，则 $\frac{a^2+c^2}{a c}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[2,+\infty)$ $\text{B.}$ $(-\infty,-2]$ $\text{C.}$ $\left(-\frac{5}{2},-2\right\}$ $\text{D.}$ $\left(2, \frac{5}{2}\right]$
已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\frac{4 \sin C+2 \sin B}{\sin C+2 \sin B}+\frac{\sin B}{\sin C}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{6}-\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{6}+\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{6}-1$ $\text{D.}$ $\sqrt{6}+1$
已知 $a, b, c \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ，则 $\frac{a^2+2 b^2+c^2}{a b+b c}$ 的取值范围是（ ）．
$\text{A.}$ $[2,3]$ $\text{B.}$ $\left[\frac{5}{2}, 3\right]$ $\text{C.}$ $\left[2, \frac{5}{2}\right]$ $\text{D.}$ $[1,3]$
函数 $y=\frac{6-2 x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 8
若 $f(x)=\left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+t\right|(x, t \in R)$ 最大值记为 $g(t)$ ，则 $g(t)$ 的最小值为
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$ ，则 $\frac{2 a^2+1}{a}+\frac{2 b^2+4}{b}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ 10 $\text{B.}$ 11 $\text{C.}$ 13 $\text{D.}$ 21
填空题
已知 $a, b, c$ 是正实数，且 $b+c=\sqrt{6}$ ，则 $\frac{a c^2+2 a}{b c}+\frac{8}{a+1}$ 最小值为
已知 $x>0, y>0, x+y=10$ ，则 $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值为
设正实数 $m, n$ 满足 $m+n=2$ ，则 $\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$ 的最小值为
已知 $x>0, y>0$ ，且 $x+y=4$ ，则 $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$ 取得最小值时 $x$ 的值是