求 $O x y$ 平面内曲线 $\left(x^2+y^2\right)^3=2 x y^3$ 所围区域的面积 $A$ 。
已知 $f(x)=\int_0^4|t-x| d t$, 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=3$ 处的切线方程。
水平安置半径为 $R$ 的半球形水池中盛满了水, 水池球形底部中心有一个半径为 $\frac{R}{5}$ 的圆孔，按流速公式 $v=\sqrt{2 g h}$ ( $h$ 为池中水深)，计算池中的水全部流完所需的时间 $T$ 。
求过直线 $L:\left\{\begin{array}{r}2 x-y-z+1=0 \\ x+y-z-1=0\end{array}\right.$ 且与点 $M_0(1,-1,0)$ 距离最远的平面 $\Pi$ 的一般方程。
证明：当 $|x| < 1$ 时, $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{3}{2} x^2$ 。
已知矩阵 $X$ 满足 $2 X=A X + B$, 且 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $X$ 。
设 $p$ 为常数, 讨论反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^p\right)} d x$ 的敛散性, 若收敛, 求该反常积分的值。
已知 $a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}, n=1,2, \cdots$, 讨论数列 $\left\{a_n\right\}$的敛散性。