填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
按 $(x-4)$ 的幕展开多项式 $f(x)=x^4-5 x^3+x^2-3 x+4$.
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式.
求函数 $f(x)=x e ^x$ 的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] .$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$