解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求导 $f(z)=z \operatorname{Re} z$.
判断$f(z)=\bar{z} \cdot z^2$.的可导与解析性
判断 $f(z)=x^2+ i y^2$. 可导与解析性
判断 $f(z)=x^3-3 x y^2+ i \left(3 x^2 y-y^3\right)$. 的可导与解析性
确定 $\frac{1}{x^2-1}$. 的解析区域和奇点, 并求出导数.
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析, 试证
$$
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^2=4\left|f^{\prime}(z)\right|^2
$$
试证 $u=x^2-y^2, v=\frac{y}{x^2+y^2}$ 都是调和函数，但 $u+ i v$ 不是解析函数.