单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|a|=|b|=a \cdot b=2$, 且 $(b-c) \cdot(2 b-c)=0$, 则 $|a-2 c|$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{7}+2$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{7}+1$
$\text{C.}$ $\sqrt{7}+1$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{7}+2$
已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $3 \sqrt{3}$ 的等边三角形, 四边形 $M N P Q$是面积为 2 的正方形，其各顶点均位于 $\triangle A B C$ 的内部及三边上，且可在 $\triangle A B C$ 内任意旋转，则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{C Q}$ 的最大值为（）
$\text{A.}$ $-\frac{9}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}-2$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}+\sqrt{2}-2$
已知锐角 $\triangle A B C$ 满足 $A B=2 \sqrt{3}, \angle C=60^{\circ}$ 且 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心, 若 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$, 则 $2 \lambda-\mu$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $(-2,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $[-2,2)$
$\text{D.}$ $(-2,2)$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c,(a+c)(\sin A-\sin C)+$ $b \sin B=a \sin B, b+2 a=4, \overrightarrow{C A}=3 \overrightarrow{C D}-2 \overrightarrow{C B}$, 则线段 $C D$ 长度的最小值为 ( )
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
已知 $F_1 、 F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点, 点 $P$ 是椭圆上任意一点, 以 $P F_1$为直径作圆 $N$, 直线 $O N$ 与圆 $N$ 交于点 $Q$ (点 $Q$ 不在椭圆内部), 则 $\overrightarrow{Q F_1} \cdot \overrightarrow{Q F_2}=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 1
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
已知 $P$ 为 $\triangle A B C$ 所在的平面内一点, 则下列命题正确的是（）
$\text{A.}$ 若 $P$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2$, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}=2$
$\text{B.}$ 若 $P$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的外心, $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ 且 $x+2 y=1$, 则 $A B=B C$
$\text{C.}$ 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|_{\sin ^B}}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|_{\sin } C}\right)(\lambda \in R)$, 则点 $P$ 的轨迹经过 $\triangle A B C$ 的重心
$\text{D.}$ 若 $\overrightarrow{A P}=\left(\frac{1}{|\overrightarrow{A B}|_{\cos ^B}}+\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{A B}+\left(\frac{1}{|\overrightarrow{A C}|_{\cos } C}+\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{A C}$, 则点 $P$ 的轨迹经过 $\triangle A B C$ 的内心
已知 $O$ 为坐标原点, 曲线 $y=\ln x$ 在点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 处的切线与曲线 $y=e^x$相切于点 $Q\left(x_2, y_2\right)$, 则 ( )
$\text{A.}$ $x_1 y_2=1$
$\text{B.}$ $\frac{x_1+1}{x_1-1}+x_2=0$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值为 0
$\text{D.}$ 当 $x_2 < 0$ 时, $x_1+x_2>e^2-2$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是平面向量, $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是单位向量, 且 $\langle\vec{a}, \vec{c}\rangle=\frac{\pi}{2}$, 若 $\vec{b}^2-8 \vec{b}$ 回 $\vec{c}+15=0$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值为
平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{c}|=1, \overrightarrow{b^2}+\vec{a} \cdot \vec{c}+\frac{\sqrt{2}}{2}|\vec{b}-\vec{c}|=$ $\vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{c}), \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|}{\vec{b} \cdot \vec{c}}=\left|\vec{a}+\frac{1}{|\vec{b}|} \vec{b}\right|$, 则 $(\vec{b}-\vec{c})^2=$