单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知平行四边形 $A B C D$, 点 $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点 (如图所示), 设 $A B={a}$, ${A D}={b}$, 则 $\overrightarrow{E F}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \vec{a}+\vec{b}$
与 $(\sqrt{2},-\sqrt{3})$ 垂直的单位向量是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\pm\left(\frac{\sqrt{3}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{5}\right)$
$\text{B.}$ $\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)$
$\text{C.}$ $\pm\left(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right)$
$\text{D.}$ $\pm\left(\frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}\right)$
若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|\vec{a}+\vec{b}|=4$ ，则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
已知 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $\angle A=\frac{2 \pi}{3}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-2$, 则 $|\overrightarrow{A G}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=\frac{1}{3} \sqrt{(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^2}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
已知向量 $\vec{a}=(2,0), \vec{b}=\left(\sin \alpha, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c}=\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\triangle A B C$ 是边长为 1 的等边三角形, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 上靠近点 $B$ 的三等分点, 连接 $D E$ 并延长到点 $F$,使得 $\overrightarrow{D E}=2 \overrightarrow{E F}$, 则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
在 $\triangle A B C$ 中, $B C=4, A B=3 A C$, 则 $\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}$ 的取值范围为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $[-3,12]$
$\text{B.}$ $(-3,12)$
$\text{C.}$ $[12,24]$
$\text{D.}$ $(12,24)$
已知 $\odot O$ 的半径为 1 , 直线 PA 与 $\odot O$ 相切于点 A , 直线 PB 与 $\odot O$ 交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点, D 为 BC 的中点, 若 $|P O|=\sqrt{2}$,
$\text{A.}$ $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1+2 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $1+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的单位向量, 向量 $\vec{c}$ 的模为 $2 \sqrt{3}$, 则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的值有可能为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
已知向量 $\vec{a}=(-1,3), \vec{b}=(x, 2)$, 且 $(\vec{a}-2 \vec{b}) \perp \vec{a}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\vec{b}=(1,2)$
$\text{B.}$ $|2 \vec{a}-\vec{b}|=25$
$\text{C.}$ 向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是 $45^{\circ}$
$\text{D.}$ 向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标是 $(1,2)$
如图, 在梯形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, A D \perp C D, A D=4, B C=2, C D=2 \sqrt{3}, E$ 为线段 $C D$ 的中点, $F$ 为线段 $A B$ 上一动点（包括端点）， $\overrightarrow{E F}=\lambda \overrightarrow{C D}+\mu \overrightarrow{B A}$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $A B=4$
$\text{B.}$ 若 $F$ 为线段 $A B$ 的中点, 则 $\lambda+\mu=1$
$\text{C.}$ $\lambda=-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $FC \cdot FD$最小值为6
折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则
$\text{A.}$ $\overrightarrow{E H} / / \overrightarrow{F C}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B E}=0$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{E G}=\overrightarrow{E H}+\overrightarrow{E F}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E H}=\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 \pi}{3}$, 且 $|\vec{a}|=10, \vec{b}=(3,4)$, 则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为
设向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$, 且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$, 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$
已知正 $\triangle A B C$ 的边长为 2 , 点 $P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点, 且 $P C=1$, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围为
已知点 $D$ 在线段 $A B$ 上, $C D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $E$ 为 $C D$ 上一点, 且满足 $\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{B A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{A D}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)(\lambda>$ 0 ), $|\overrightarrow{C A}|-|\overrightarrow{C B}|=6,|\overrightarrow{B A}|=14$, 设 $\overrightarrow{B A}=\vec{a}$, 则 $\overrightarrow{B E}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\qquad$ . (结果用 $\vec{a}$ 表示).