解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 在正三棱锥 $P-A B C$ 中, 有一半径为 1 的半球, 其底面圆 $O$ 与正三棱锥的底面贴合, 正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 设点 $D$ 为 $B C$ 的中点, $\angle A D P=\alpha$.
(1) 用 $\alpha$ 分别表示线段 $B C$ 和 $P D$ 长度;
(2) 当 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, 求三棱锥的侧面积 $S$ 的最小值.
地球仪是地理教学中的常用教具. 如图1所示,地球仪的赤道面 (与转轴垂直) 与黄道面 (与水平面平行) 存在一个夹角, 即黄赤交角, 大小约为 $23.5^{\circ}$ 。为锻炼动手能力,某同学制作了一个半径为 4 cm 的地球仪 (不含支架), 并将其放入坚直放置的正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中 (姿态保持不变), 使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切, 如图 2 所示. 此时平面 $A B_1 C$ 恰与地球仪的赤道面平行, 则三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的外接球体积为 $\qquad$ (参考数据: $\tan 23.5^{\circ} \approx 0.43$ )
