单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$, 则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
设常数 $\alpha>0, \beta>0$, 若反常积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{1}{(-\cos x)^\alpha(1+\cos x)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < 1$.
设 $\Sigma$ 为直线 $L: \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 位于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分, 则几何体 $\Omega$ 的形心为
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0,0, \frac{9}{16}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(0,0, \frac{3}{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{4}, 0,0\right)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times s$ 矩阵, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解的充分条件是
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})=m$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})=n$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{B})=n$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{B})=s$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1 个.
$\text{B.}$ 2 个.
$\text{C.}$ 3 个.
$\text{D.}$ 4 个.
若二次曲面的方程 $x^2+3 y^2+z^2+2 a x y+2 x z+2 y z=2$ 经过正交变换化为 $y_1^2+4 y_2^2=2$, 则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为 止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}, \frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}, \frac{4}{3}$.
已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $\chi^2(1)$.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $t(1)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-1}{x^2+y^2}=1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3 h, 0)-f(0, h)}{h}=$
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_y^x \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
设空间曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+4 y^2=1 \\ x+2 y+z=1\end{array}\right.$, 从 $z$ 轴正向看是顺时针方向, 则
$$
\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z\left(x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} z}{x^2+4 y^2}=
$$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵, 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|+1 < $ 0 , 则 $\left|(3 \boldsymbol{B})^{-1}-\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{B}\right)^{\cdot}\right|=$
一个口袋中有 3 个白球、 5 个黑球, 每次从中取一球, 且取后放回, 重复抽取 $n$ 次. 已知在取白球 $k$ 次的条件下, 事件 $B$ 发生的概率为 $\frac{k}{n}$, 则 $P(B)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \mathrm{e}^x-c}{x-\sin x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
I ) 设 $x>0$, 证明: 函数 $f(x)=\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}$ 单调递增;
(II) 设 $0 < x < 1$, 证明不等式: $x-\frac{1}{2} x^2 < \ln (1+x) < x+(\ln 2-1) x^2$.
设位于第一象限的平面曲线 $L: y=y(x)$ 过点 $A(0, \sqrt{2}-1)$, 且 $y^{\prime}(x)>0$, 又 $M(x, y)$ 为曲线 $L$ 上的任意一点, 且弧段 $A M$ 的长度与点 $M$ 处 $L$ 的切线在 $x$ 轴上的截距之差为 $\sqrt{2}-1$.
( I ) 求 $y=y(x)$ 所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线 $L$ 的表示式.
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$.
(I) 求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形;
(III) 当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时, 确定常数 $a$, 使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 并求
二次型 $g(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 下的最大值.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分布函数分别为
(I) 求 $X$ 的概率分布;
（II) 若 $p=\frac{1}{4}$, 求 $P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}$;
(III) 若 $p$ 末知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $p$ 的最大似然估计量.