单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x|| x \mid < 2\}, B=\{-1,0,2\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{0,2\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0,2\}$
$\text{C.}$ $\{-1,0\}$
$\text{D.}$ $\{-1,2\}$
复数 $z=\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ 在复平面内对应的点的坐标为
$\text{A.}$ $(1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,-2)$
$\text{C.}$ $(2,1)$
$\text{D.}$ $(-2,-1)$
北京 2022 年冬奥会期间, 某大学派出了 1000 名志愿者, 为了解志愿者的工作情况, 该大学学生会将这 1000 名志原者随机编号为 $1,2, \cdots, 1000$, 再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为 200 的 样本进行问卷调査, 若所抽中的最小编号为 3 , 则所抽中的最大编号为
$\text{A.}$ 968
$\text{B.}$ 978
$\text{C.}$ 988
$\text{D.}$ 998
在普通高中新课程改革中, 某地实施 “ $3+1+2$ ” 选课方案. 该方案中“2” 指的是从政治、地理、化 学、生物 4 门学科中任选 2 门, 假设每门学科被述中的可能性相等, 那么政治和地理至少有一门被 选中的概率是
$\text{A.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
已知函数 $f(x)=a x^3+b x+2(a \neq 0)$ 满足 $f(-3)=5$, 则 $f(3)$ 等于
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $-5$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $-3$
已知 $\frac{-\cos \alpha+2 \sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=-3$, 则 $\sin 2 a=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $ 1$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-6 \leqslant 0, \\ x+y-3 \geqslant 0 \text {, 则 } z=x-3 y \text { 的最大值为 } \\ y \leqslant 3\end{array}\right.$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $-\frac{15}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 9
若圆锥的轴截面为等边三角形, 且面积为 $2 \sqrt{3}$, 则圆锥的体积为
$\text{A.}$ $4 \sqrt{3} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{3} \pi}{3}$
$\text{D.}$ $8 \sqrt{3} \pi$
圆 $(x-1)^2+y^2=4$ 截直线 $l: y=k(x-2)+1$ 所得的弦长最短为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $F_1, F_2, P$ 是它们的一个交点, 且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$, 记椭圆和双曲 线的离心率分别为 $e_1, e_2$, 则 $e_1 \cdot e_2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $3$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=3$, 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=\left(\sqrt{a_{n-1}+1}+1\right)^2-1$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 是
$\text{A.}$ $a_n=2 n+1$
$\text{B.}$ $a_n=n^2+2 n$
$\text{C.}$ $a_n=n^2+2$
$\text{D.}$ $a_n=2 n^2+1$
已知 $a=e-1, b=2-\ln 2, c=e^{e}-e^2+1$, 则
$\text{A.}$ $c>b>a$
$\text{B.}$ $a>b>c$
$\text{C.}$ $a>c>b$
$\text{D.}$ $c>a>b$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3},|\boldsymbol{b}|=2 \sqrt{3}, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角是
已知函数 $f(x)=(a x+b) e^x$, 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $3 x-y+1=0$, 则 $f(1)$ 的值为
设 $\varphi>0$, 函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)-\sqrt{3} \cos (2 x+\varphi)$ 为偶函数, 则 $\varphi$ 的最小值为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项互异, 且 $a_n>0, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则 $\dfrac{a_1-a_n}{a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_{n-1} a_n}$ $=$
某大型房地产公司对该公司 140 名一线销售员工每月进行一次目标考核, 对该月内签单总数达 到 10 单及以上的员工投予该月 “金牌销售” 称号, 其余员工称为“普通销售”, 下表是该房地产公 司 140 名员工 2022 年 1 月至 5 月获得“金牌销售” 称号的统计数据：
(1) 由表中看出, 可用线性回归模型拟合“金牌销售” 员丁数 $y$ 与月份 $x$ 之间的关系, 求 $y$ 关于 $x$ 的 回归直线方程 $y=b x+a $, 并预测该房地产公司 6 月份犾得 “金牌销售” 称号的员工人数;
(2) 为了进一步了解员工们的销售情况, 选取了员工们在 3 月份的销售数据进行分析, 统计结果如下:
请补充上表中的数据 (直接写出 $m, n$ 的值), 并根据上表判断是否有 $95 \%$ 的把握认为获得“金牌 销售” 称号与性别有关?
参考数据
$$
\begin{aligned}
K^2=
& \frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\
& (\text { 其中 } n=a+b+c+d) .
\end{aligned}
$$
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $b \sin \frac{B+C}{2}=a \sin B$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $a=4, \triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
如右图所示, 在四棱锥 $P-A B C D$ 中, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, A B / / D C, \triangle P A D$ 是等边三角 形, 已知 $B D=2 A D=8, A B=2 D C=4 \sqrt{5}, M$ 是 $P C$ 的中点.
(1) 证明: 平面 $M B D \perp$ 平面 $P A D$;
(2) 求四棱雉 $M-A B C D$ 的体积.
已知点 $P\left(\frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与抛物线 $E: y^2=2 p x(p>0)$ 的一个公 共点, 且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 $F$. 过点 $Q(4,0)$ 且不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆相交 于 $A, B$ 两点.
(1) 求楉圆 $C$ 及抛物线 $E$ 的方程;
(2) 若点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $H$, 证明: 直线 $A H$ 与 $x$ 轴交于定点.
已知函数 $f(x)=\ln x-x+1, x \in(0,+\infty)$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的零点个数;
(2) 证明: 当 $0 < x \leqslant \frac{3 \pi}{2}$ 时, $f(x) < \sin x$.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t}{2} \\ y=3-t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4 \rho^2-3 \rho^2 \cos ^2 \theta=4$.
(1) 写出曲线 $C_1$ 的普通方程和曲线 $C_2$ 的直角坐标方程;
(2) 已知点 $P$ 是曲线 $C_2$ 上的动点. 求点 $P$ 到曲线 $C_1$ 距离的最大值.
已知函数 $f(x)=|x-1|+|x-a|$
(1) 若函数 $f(x)$ 的值域为 $[2,+\infty)$, 求实数 $a$ 的值;
(2) 若 $f(2-a) \geqslant f(2)$, 求实数 $a$ 的取值范围.