单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若直线 $l$ 的方向向量是 $e=(1, \sqrt{3})$, 则直线 $l$ 的倾斜角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知空间向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2, x), \boldsymbol{b}=(3,-6,-3)$, 且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $x=$
$\text{A.}$ $-9$
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $9$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上、下顶点分别为 $A$, $B$, 若四边形 $A F_1 B F_2$ 为正方形, 则椭圆 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知三棱雉 $O-A B C$ 中, 点 $M, N$ 分别为 $A B, O C$ 的中点, 且 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$, 则 $\overrightarrow{N M}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$
已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y=2 x(x>0)$ 上, 若圆 $C$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 圆 $C$ 与 $y$ 轴 交于 $C, D$ 两点, 则
$\text{A.}$ $|A B| < |C D|$
$\text{B.}$ $|A B|=|C D|$
$\text{C.}$ $|A B|>|C D|$
$\text{D.}$ $|A B| \geq|C D|$
已知一个动圆 $P$ 与两圆 $C_1:(x+2)^2+y^2=1$ 和 $C_2:(x-2)^2+y^2=4$ 都外切, 则动圆 $P$ 圆 心的轨迹方程为
$\text{A.}$ $4 x^2-\frac{4 y^2}{15}=1(x < 0)$
$\text{B.}$ $4 x^2-\frac{4 y^2}{15}=1$
$\text{C.}$ $\frac{4 x^2}{9}-\frac{4 y^2}{7}=1(x < 0)$
$\text{D.}$ $\frac{4 x^2}{9}-\frac{4 y^2}{7}=1$
若四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的所有棱长均为 2 , 且 $\angle A_1 A B=\angle A_1 A D=\angle B A D=60^{\circ}$, 则 $A_1$ 到平面 $A B C D$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知 $F$ 为抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点, 直线 $l: y=k(x+1)$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的 左边), 则 $4|A F|+|B F|$ 的最小值是
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 5
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,2), \boldsymbol{b}=(2,2,1), \boldsymbol{c}=(4,1,3)$, 则
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}=(2,-1,2)$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$
$\text{D.}$ 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 共面
如图, 下列各正方体中, $O$ 为下底面的中心, $M, N$ 为顶点, $P$ 为所在棱的中点, 则 满足 $ < \overrightarrow{M N}, \overrightarrow{O P}>=90^{\circ}$ 的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知圆 C: $x^2+y^2-2 x-8=0$, 直线 $l: y=k(x+1)+1$, 则
$\text{A.}$ 圆 $\mathrm{C}$ 的圆心为 $(-1,0)$
$\text{B.}$ 点 $(-1,1)$ 在 $l$ 上
$\text{C.}$ $l$ 与圆 $C$ 相交
$\text{D.}$ $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦长为 4
在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B=A A_1=1$, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_1}$, 其中 $\lambda \in[0,1]$, $\mu \in[0,1]$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lambda=1$ 时, $A P+P B_1$ 的最小值为 $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ 当 $\mu=1$ 时, 三棱雉 $P-A_1 A B$ 的体积为定值
$\text{C.}$ 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时, 存在两个点 $P$, 使得 $A_1 P \perp B P$
$\text{D.}$ 当 $\mu=\frac{1}{2}$ 时, 有且仅有一个点 $P$, 使得 $A_1 B \perp$ 平面 $A B_1 P$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1, \overrightarrow{A C_1}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+m \overrightarrow{A A_1}$, 则 $m$ 的值为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$, 则 $C$ 的离心率 为
已知圆台的上、下底面半径分别是 10 和 20 , 它的侧面积为 $900 \pi$, 则此圆台的母线 与下底面所成角的余弦值为
抛物线的光学性质是: 位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后 的反射线都与抛物线的对称轴平行. 已知抛物线 $C: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 直线 $l: y=5$, 点 $P, Q$ 分别是 $C, l$ 上的动点, 若 $Q$ 在某个位置时, $P$ 仅存在唯一的位 置使得 $|P F|=|P Q|$, 则满足条件的所有 $|P Q|$ 的值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$.
请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题.
① $b=\sqrt{3}$; ②离心率为 2; ③与椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的焦点相同.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=x-3$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|A B|$ 的值.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
如图, 四棱雉 $P-A B C D$, 底面 $A B C D$ 为正方形, $P B \perp$ 平面 $A B C D, E$ 为线段 $P B$ 的 中点.
(1) 证明: $A C \perp P D$;
(2) 若 $P B=2 A B=2$, 求直线 $D E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.
已知点 $(4,2)$ 在抛物线 $C: x^2=2 p y$ 上, 直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle A O B=90^{\circ}$.
(1) 求抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离;
(2) 求 $\triangle A O B$ 面积的最小值.
在某地举办的智能 $\mathrm{AI}$ 大赛中, 主办方设计了一个矩形场地 $A B C D$ (如图), $A B$ 的长 为 9 米, $A D$ 的长为 18 米. 在 $A B$ 边上距离 $A$ 点 6 米的 $F$ 处有一只电子狗, 在距离 $A$ 点 3 米的 $E$ 处放置一个机器人. 电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍, 如果同时出发, 机器人比电子狗早到达或同时到达某点 (电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点), 那么电子狗将被机器人捕获, 电子狗失败, 这点叫失败点.
(1) 判断点 $A$ 是否为失败点 (不用说明理由);
（2）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积 $S$;
(3) 若 $P$ 为矩形场地 $A D$ 边上的一动点, 当电子狗在线段 $F P$ 上都能逃脱时, 求 $\frac{|A P|}{|A D|}$ 的取值范围.
如图, 在边长为 2 的正方形 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点. 以 $D E$ 为折 痕将四边形 $A B E D$ 折起, 使 $A, B$ 分别到达 $A_1, B_1$, 且平面 $A_1 B_1 E D \perp$ 平面 $C D E$. 设 $P$ 为线段 $C E$ 上一点, 且 $A_1, B_1, P, F$ 四点共面.
(1) 证明: $B_1 E / /$ 平面 $A_1 D F$;
(2) 求 $C P$ 的长;
(3) 求平面 $A_1 B_1 P F$ 与平面 $C D E$ 所成角的余弦值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 且 $\left|F_1 F_2\right|=2$. 过 $F_2$ 的 一条斜率存在且不为零的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, $\triangle M N F_1$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 过 $Q$ 作 $C$ 的一条切线, 切点为 $T$. 证明: $\angle T F_2 P=\angle T F_2 N$.