单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y}$, 则 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{x}{x y^3+1}$
$\text{B.}$ $\frac{y}{x y^3+1}$
$\text{C.}$ $\frac{x y}{x^2 y^2+1}$
$\text{D.}$ $\frac{x y}{x y^3+1}$
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$, 则根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设 $f(x, y, z)$ 是 $k$ 次齐次函数, 即 $f(t x, t y, t z)=t^k f(x, y, z), \lambda$ 为某一常数, 则结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=k^\lambda f(x, y, z)$
$\text{B.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=$ $\lambda^k f(x, y, z)$
$\text{C.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=k f(x, y, z)$
$\text{D.}$ $x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=$ $f(x, y, z)$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$ 可以写为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
设区域 $D =\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}, f(x)$ 为 D 上的正值连续函数, $a, b$为常数, 则 $\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b \pi}{2}$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, 而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散, 而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛, 那么当 $x =2$ 时该级数 $(\quad)$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不变
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^k-2^k\right)\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)}=$
设有一半径为 R 的球体, $P_0$ 是此球的表面上的一个定点, 球体上任意一点的密度都与该点到此定点距离的平方成正比 (比例系数 $k>0$ ), 则此球体的重心位置为 $\qquad$。(圆心在原点, $P_0(R, 0,0)$ )
重积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \min \{x, y\} e^{-x^2-y^2} d x d y=\quad\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} d t=\right.$ $\sqrt{2 \pi}$ ，此为泊松积分）
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 所确定的函数, 则 $\frac{\partial z}{\partial y}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数。
求抛物线 $y=x^2$ 和直线 $x-y-2=0$ 之间的最短距离。
求经过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $x-4 y-8 z+12=0$ 交成 $\frac{\pi}{4}$ 的平面方程。
试计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{2 d y d z}{x \cos ^2 x}+\frac{d z d x}{\cos ^2 y}-\frac{d x d y}{z \cos ^2 z}$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=$ 1 的外侧。
计算 $\iint_D \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} d x d y$, 其中 $D: x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$