单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} d x$
$\text{A.}$ 收敛且等于 0
$\text{B.}$ 收敛且等于 1
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 不能确定敛散性.
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+|y|}=1$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 取极大值.
$\text{B.}$ 取极小值.
$\text{C.}$ 不取极值.
$\text{D.}$ 无法确定.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta=-2 p^2$, 而市场对该商品的最大需求量为 1 (万件), 则需求函数为
设 $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}=0$ 的解, 且当 $x \rightarrow 0$ 时, $y(x)$ 是 $x^2$ 的等价无穷小, 则 $y(x)=$
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $e ^2 < a < b$, 求证: $\int_a^b \frac{d x}{\ln x} < \frac{2 b}{\ln b}$.
求二元函数 $z=x^2+y^2-2 \ln |x|-2 \ln |y|(x \neq 0, y \neq 0)$ 的极值.
过曲线 $y=\sqrt{x}$ 上某点 $A$ 作切线, 使之与曲线及 $y$ 轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{12}$. 求
（I）过 $A$ 点的切线方程;
(II) 上述图形绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积.