单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x|| x-1 \mid < 2\}, B=\left\{x \mid \log _3 x \leqslant 1\right\}$, 则 $A \cup B=$
$\text{A.}$ $(-1,3)$
$\text{B.}$ $(0,3]$
$\text{C.}$ $(0,3)$
$\text{D.}$ $(-1,3]$
已知 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $\bar{z}+|z|=$
$\text{A.}$ $1+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1-i$
$\text{C.}$ $2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $2$
已知平面向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$, 且 $|2 \vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{15}$, 则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
斐波那切是意大利 13 世纪的数学家, 其传世名作为 《算盘书》, 书中有一个著名的问题: 一个人经过七道 门进人果园，摘了若干苹果. 他离开果园时, 给第一个守门人一半加 1 个; 给第二个守门人, 是余下的一 半加 1 个; 对其他五个守门人, 也如此这般, 最后他带着 1 个苹果离开果园. 请问：当初他一共摘了多少个苹果.
$\text{A.}$ 1522
$\text{B.}$ 762
$\text{C.}$ 382
$\text{D.}$ 192
下列函数中, 是奇函数且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是
$\text{A.}$ $y=2^{|x|}$
$\text{B.}$ $y=\frac{\sin x}{x}$
$\text{C.}$ $y=\lg \left(\sqrt{4 x^2+1}-2 x\right)$
$\text{D.}$ $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$
若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面, 其内接正四棱柱的高为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 则此正四棱柱的体积是
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{8 \sqrt{6}}{27}$
若斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 过双曲线 $C: y^2-\frac{x^2}{4}=1$ 的上焦点 $F$, 与双曲线 $C$ 的上支交于 $A, B$ 两点, $\overrightarrow{F A}+3 \overrightarrow{F B}$ $\overrightarrow{0}$, 则 $k$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{19}}{19}$
设 $a=\sin \frac{1}{2}, b=\frac{3}{2 \pi}, c=\ln 2$, 则
$\text{A.}$ $b < a < c$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $c < b < a$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知 $a < b$, 下列不等式一定成立的是
$\text{A.}$ $a^3 < b^3$
$\text{B.}$ $\ln a < \ln b$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
$\text{D.}$ $a|a| < b|b|$
已知函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right), g(x)=\cos \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 直线 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 是 $y=f(x)$ 图俆的一条对称轴
$\text{B.}$ 点 $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 是 $y=g(x)$ 图負的一个对称中心
$\text{C.}$ 将 $f(x)$ 的图象先向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 再将每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 可以得到 $g(x)$ 的图象
$\text{D.}$ 将 $f(x)$ 的图吏上每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 再向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 可以得到 $g(x)$ 的图象
为提高学生学习数学的热情, 某校积极筹建数学兴趣小组, 小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概 念, 提出 “等积数列” 的概念：从第二项起, 每一项与前一项之积为同一个常数 已知数列 $\left\{a_n \mid\right.$ 是一个 “等积数列”, $a_1=1, a_{99} a_{100} a_{\text {si1 }}=2$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a_{202}=1$
$\text{B.}$ $S_{2023}=3^{1011}+1$
$\text{C.}$ $a_n=\frac{3+(-1)^n}{2}$
$\text{D.}$ $S_n=\frac{3}{2} n+\frac{(-1)^n-1}{4}$
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, \overrightarrow{A_1 B_1}=3 \overrightarrow{A_1 E}$, 点 $M$ 在底面 $A B C D$ 上运动. 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 存在点 $M$, 使得 $C_1 M+M E=5$
$\text{B.}$ 若 $M E / /$ 平面 $A_1 B D$ 时, $M E$ 长度的最小值是 $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ 若 $A_1 M$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{\pi}{3}$ 时, 点 $M$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3} \pi}{2}$
$\text{D.}$ 当点 $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心时, 三棱锥 $E-M A_1 B$ 的外接球的表面积为 $\frac{40 \pi}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知直线 $l: 3 x-y-5=0$ 与圆 $C: x^2+y^2-2 x-6 y+6=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|=$
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点, $A$ 是其右顶点, 过点, $F_2$ 作直线 $l \perp x$ 轴交椭圆于 $M$, $N$ 两点, 若 $M F_1 / / A N$, 则椭圆的蓠心率是
函数 $f(x)=\sin 2 x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的最小值是
已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\sqrt{2} a \cos x+\mathrm{e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在两个极值点, 则 $a$ 的取值范围为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等敫数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 且 $b_n \in \mathbf{N}^*$, 若 $a_1=b_2=2, a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3+b_4=15$.
（1）求数列 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的通项公式;
（2） 设由 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的公共项构成的新数列记为 $\left\{c_n\right\}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 5 项之和 $S_{5^*}$.
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别记为 $a, b, c$, 若 $a=\sqrt{7}, \cos C=-\frac{\sqrt{7}}{14}$, 从下面条件(1)(2)(3)中任选一个作 为已知条件, 完成以下问题:
① $c=3$;② $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{14}$;③ $a \cos B=c+b \cos 2 A$.
(1) 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(2) 若 $\angle A$ 的角平分线与边 $B C$ 交于点 $D$, 延长 $A D$ 至点 $E$ 使得 $D E=2 A D$, 求 $B E$.
自 2021 年始, 我市高考综合改革整体实施, 普通高校招生统一考试实施 “3+1+2” 考试, “3” 指全国统 一考试语文、数学、外语 3 科. 其中数学考试中的第 9 题到第 12 题这 4 道选择题为多项选择题, 其评分规 则为选项中有多项符合题目要求, 若全部选对的得 5 分, 若有选错的得 0 分, 若部分选对的得 2 分. 已知 考生甲做多项选择题时, 每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为 $0.3,0.2,0.5$, 且每道题 的作答情况相互独立. 设考生甲做 4 道多项选择题的总得分为随机变量 $X$.
(1) 求 $X=7$ 的概率;
(2) 已知考生甲第 9 题全部选对, 第 10 题部分选对, 求随机变量 $X$ 的分布列与期望.
如图, 在梯形 $A C D E$ 中, $A E / / C D$, 且平面 $A C D E \perp$ 平面 $A B C, A B=C D=4$, $A E=A C=8, B C=D E=4 \sqrt{3}$.
(1) 若平面 $A B E \cap$ 平面 $B C D=l$, 求证: $l / /$ 平面 $A C D E$;
(2) 求平面 $A B E$ 与平面 $B C D$ 的锐二面角的余弦值.
已知 $x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且经过 $F$ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=9$ 截得的线段长度的最小值为 4 .
(1) 求抛物线的方程;
(2) 设坐标原点为 $O$, 若过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$, 过点 $P, Q$ 作抛物线的 切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$, 请问直线 $M N$ 是否经过定点? 若是, 请求出此定点坐标, 若不 是, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=\ln (x+a)-a x$.
(1) 若 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的最大值;
(2) 设 $n \in \mathbf{N}^*, n \geqslant 2$, 求证: $\left(1+\frac{1}{3 \sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4 \sqrt{3}}\right)\left(1+\frac{1}{5 \sqrt{4}}\right) \cdots\left[1+\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}}\right] < \frac{2}{3} \mathrm{e}^2$.