单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 3 阶方阵, 数 $\lambda=-2,|A|=3$, 则 $|\lambda A|=$
$\text{A.}$ $24$
$\text{B.}$ $-24$
$\text{C.}$ $6$
$\text{D.}$ $-6$
已知 $A, B$, 为 $n$ 阶方阵, 则下列式子一定正确的是
$\text{A.}$ $A B=B A$
$\text{B.}$ $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
设 $A$ 为 3 阶方阵, $|A|=a \neq 0$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^2$
$\text{C.}$ $a^3$
$\text{D.}$ $a^4$
设矩阵 $A$ 与 $B$ 等价, 则有
$\text{A.}$ $R(A) < R(B)$
$\text{B.}$ $R(A)>R(B)$
$\text{C.}$ $R(A)=R(B)$
$\text{D.}$ 不能确定 $R(A)$ 和 $R(B)$ 的大小
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 则 $A x=0$ 有非零解 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r \geq n$
$\text{C.}$ $r < n$
$\text{D.}$ $r>n$
向量组 $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个零向量
$\text{B.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有两个向量成比例
$\text{C.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中每个向量都能由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$n$ 阶方阵 $A$ 与对角阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值
$\text{C.}$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{D.}$ $A$ 一定是对称阵
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 3 阶行列式 $D$ 的第 2 行元素分别为 $1,2,-1$, 它们的余子式分别为 $1,-1,2$, 则$D=$
设矩阵方程 $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] X=\left[\begin{array}{cc}4 & -6 \\ 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $X=$
设 $x=\eta^*$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的一个特解, $\xi_1, \xi_2$ 为对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系,则非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$, 则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的解集 $S$ 的最大无关组 $S_0$ 的秩 $R_{s_0}=$
设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值, 则 是 $A^2$ 的特征值
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 2\end{array}\right|$ 。
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8\end{array}\right]$, 求其逆矩阵 $A^{-1}$ 。
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 , 已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是它的三个解向量且 $\eta_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right], \eta_2+\eta_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 求该方程组的通解。
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ 的特征值和特征向量。
解下列非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x_1+x_2-x_3+x_4=1 \\
4 x_1+2 x_2-2 x_3+x_4=2 \\
2 x_1+x_2-x_3-x_4=1
\end{array}\right.
$$
已知向量组
$$
a_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right], a_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
1
\end{array}\right], a_3=\left[\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
-16
\end{array}\right]
$$
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用 该最大无关组线性表示。
证明: 设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2 E=0$, 证明 $A$ 及 $A+2 E$ 都可逆, 并 求 $A^{-1}$ 及 $(A+2 E)^{-1}$ 。